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해석역학 I — 본문 해설

『解析力学 I』 原書의 모든 절(1.1.1 … 5.5.4)을 차례로 따라가며 한 절씩 풀어 쓰는 본문 해설 시리즈. 가능한 곳마다 LaTeX 로 식을 다시 적고, 파이썬으로 동작을 확인한다.

목차

1. 장 1 1.1.1 — 뉴턴 역학: 한 줄 방정식이 깔고 앉은 다섯 가지 가정
2. 장 2 1.1.2 — 구속조건과 배위공간: 拘束 의 식이 잘라낸 새 무대
3. 장 3 1.1.3 — 구속력과 가상일: 보이지 않는 힘을 *풀지 않는* 길
4. 장 4 1.1.4 — 배위공간 위의 운동방정식: 좌표를 *자유도* 에 맞춰 다시 적기
5. 장 5 1.2.1 — 곡면의 매개변수 표현: 두 좌표 $(u, v)$ 가 만든 무대
6. 장 6 1.2.2 — 가속도 벡터와 운동방정식: 곡면이 굽었음이 식에 남기는 흔적
7. 장 7 1.2.3 — 구속력의 결정: 법선 방향이 곱셈자 $\lambda$ 를 묶어 준다
8. 장 8 1.2.4 — 곡면 위의 운동방정식: 크리스토펠 기호의 등장
9. 장 9 1.2.5 — 관성운동과 측지선: 곡면 위 *직선* 의 정의
10. 장 10 1.3.1 — 곡면 위의 벡터: 점마다 자기 벡터공간을 갖는 규칙
11. 장 11 1.3.2 — 곡면 위의 텐서: 두 변환 규칙의 결합
12. 장 12 1.3.3 — 접속과 평행이동: 다른 점의 벡터를 *비교* 하는 규칙
13. 장 13 1.3.4 — 공변미분과 가속도: 1.2.4 의 운동방정식을 *좌표 자유* 로 다시 적기
14. 장 14 1.4.1 — 미분가능 다양체: 좌표를 *국소적* 으로만 깐 공간
15. 장 15 1.4.2 — 다양체 위의 함수와 곡선: 매끄러움을 *국소 좌표를 통해* 정의
16. 장 16 1.4.3 — 방향미분과 미분작용소: 함수에 작용하는 *벡터*
17. 장 17 1.4.4 — 접벡터와 접공간: 화살표 없이 *작용소* 만으로 정의하기
18. 장 18 1.4.5 — 접번들과 벡터장: 모든 접공간을 한 자리에 모은 다양체
19. 장 19 1.4.6 — 적분곡선과 1-매개변수 변환군: 벡터장이 흐름을 낳는다
20. 장 20 1.4.7 — 당김과 미분사상: 매끄러운 사상이 *함수·벡터* 를 옮기는 두 방향
21. 장 21 1.4.8 — 리 미분: 흐름을 따라 *옮긴 뒤 비교* 하는 미분
22. 장 22 1.4.9 — 리 군과 리 대수: 정의·구조
23. 장 23 1.4.10 — 리 군과 리 대수: 좌불변 벡터장·구조 상수
24. 장 24 1.4.11 — 1-매개변수 부분군과 지수사상: $\mathfrak g$ 와 $G$ 를 잇는 다리
25. 장 25 1.5.1 — 쌍대공간과 코벡터: 벡터를 *수* 로 옮기는 선형 함수
26. 장 26 1.5.2 — 반변벡터와 공변벡터: 미터가 잇는 두 세계
27. 장 27 1.5.3 — 공변텐서: 여러 벡터를 한꺼번에 받아 *수* 로 옮기는 함수
28. 장 28 1.5.4 — 교대텐서와 벡터: 부호가 뒤집히는 텐서
29. 장 29 1.5.5 — 텐서의 교대화와 외적: $\wedge$ 의 정의
30. 장 30 1.6.1 — 여접공간과 코벡터: 점 $p$ 에서 *함수의 변화율* 이 사는 공간
31. 장 31 1.6.2 — 1-형식: 다양체 전체에 깐 코벡터의 *부드러운 흐름*
32. 장 32 1.6.3 — 텐서장과 리만 계량: 다양체 위에 *길이* 를 박는 구조
33. 장 33 1.6.4 — p-형식: 다양체 위 교대 텐서장의 무한 가족
34. 장 34 1.6.5 — 외미분: $d^2 = 0$ 이라는 한 줄짜리 핵심 등식
35. 장 35 1.6.6 — 푸앵카레 보조정리: *국소적* 으로는 닫힘 = 정확함
36. 장 36 1.6.7 — 미분형식의 적분: 방향이 있는 다양체 위의 $n$-형식 적분
37. 장 37 1.6.8 — 스토크스 정리: $\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$ 라는 한 줄의 통합
38. 장 38 2.1.1 — 스클레로노믹의 경우: $T - V$ 가 *왜* 자연스러운 양인가
39. 장 39 2.1.2 — 일반적 경우로의 확장: 레오노믹 + $T_2 + T_1 + T_0$ 의 분해
40. 장 40 2.1.3 — 공변성: 좌표를 바꿔도 라그랑주식의 *형태* 가 유지된다
41. 장 41 2.1.4 — 일반화 포텐셜: 속도에 의존하는 힘도 라그랑주 형식으로
42. 장 42 2.1.5 — 라그랑지언의 게이지 변환: $L \to L + \frac{dF}{dt}$ 가 운동을 바꾸지 않는다
43. 장 43 2.2.1 — 제1적분: 궤적 위에서 *상수* 인 함수
44. 장 44 2.2.2 — 일반화 운동량과 그 보존: 순환 좌표가 만든 가장 단순한 보존법칙
45. 장 45 2.2.3 — 계의 대칭성과 보존법칙: 노에터 정리의 학부판
46. 장 46 2.2.4 — 해밀토니언과 에너지 적분: 시간 변위 대칭이 만든 보존량
47. 장 47 2.2.5 — 배위공간의 구속과 자유도의 삭감: 제1적분이 *차원을 줄인다*
48. 장 48 2.3.1 — 기본 1-형식과 기본 2-형식: 라그랑지언이 만드는 *기하학적* 객체
49. 장 49 2.3.2 — 라그랑주 방정식의 좌표계 무관 표현: $\iota_{\dot\gamma} \omega_L = dE_L$ 한 줄
50. 장 50 2.4.1 — 준좌표의 도입: *적분 불가능한* 좌표라는 도구
51. 장 51 2.4.2 — 비푸앵카레 방정식: 준좌표 위의 라그랑주식과 구조 상수의 등장
52. 장 52 2.5.1 — 구속력: 라그랑주 곱셈자가 *직접* 박는 미지의 힘
53. 장 53 2.5.2 — 구속계의 라그랑주 방정식: 확장 라그랑지언 $\tilde L = L + \lambda^\beta f_\beta$
54. 장 54 2.5.3 — 비홀로노믹 구속: 속도 의존 구속과 *적분 불가능* 의 어려움
55. 장 55 3.1.1 — 작용 적분과 해밀턴의 원리: 경로 전체의 *함수* 가 결정하는 운동
56. 장 56 3.1.2 — 확장 배위공간: 공간 + 시간 을 한 자리에 모은 무대
57. 장 57 3.1.3 — 확장 상태공간: 위치·속도·시간 의 결합 무대
58. 장 58 3.1.4 — 기본 1-형식과 작용 적분: $S = \int_\gamma \theta_L^{\text{ext}}$ 의 한 줄
59. 장 59 3.1.5 — 작용 적분의 변분 계산: $\delta S = \int (\text{EL}\,\delta q)\, dt + [\text{boundary}]$
60. 장 60 3.1.6 — 해밀턴의 원리와 라그랑주 방정식: 두 형식의 동치성
61. 장 61 3.1.7 — 라그랑주 방정식의 확장 배위공간 표현: 시간을 *좌표* 로 다루는 형식
62. 장 62 3.1.8 — 라그랑주의 미정 곱셈자법: 구속이 있는 변분 원리의 표준 처방
63. 장 63 3.2.1 — 워이스의 원리: 끝점이 *움직이는* 변분
64. 장 64 3.2.2 — 확장 배위공간의 모멘트 함수: $S(q, t)$ 가 *운동량을 생성*
65. 장 65 3.2.3 — 노에터 정리의 확장: 시간 변환까지 포함한 연속 대칭
66. 장 66 4.1.1 — 라그랑주 방정식의 좁음: 좌표와 속도의 *비대칭* 이라는 한계
67. 장 67 4.1.2 — 정준 방정식: $\dot q = \partial H/\partial p$, $\dot p = -\partial H/\partial q$ 의 대칭적 1차 ODE
68. 장 68 4.1.3 — 상공간과 정준 1-형식: 해밀턴 역학의 무대
69. 장 69 4.1.4 — 위상공간의 리만 계량: 심플렉틱과 *다른 종류의* 추가 구조
70. 장 70 4.1.5 — 확장 상공간: 시간과 에너지가 *추가 좌표* 가 되는 무대
71. 장 71 4.2.1 — 심플렉틱 다양체: 닫혀 있고 비퇴화인 2-형식을 가진 무대
72. 장 72 4.2.2 — 정준 방정식의 좌표 무관 표현: $\iota_{X_H} \omega = dH$ 의 한 줄
73. 장 73 4.2.3 — 해밀토니언 벡터장: 위상공간 위의 *대칭적* 흐름
74. 장 74 4.3.1 — 동력학 시스템이란: $\dot x = f(x)$ 의 일반 형식
75. 장 75 4.3.2 — 상류와 불변 집합: 평형점·주기해·attractor 의 골격
76. 장 76 4.3.3 — 평형해·주기해와 안정성: 작은 perturbation 의 운명
77. 장 77 4.3.4 — 선형화 방정식: 평형점에서의 *고유값 분석*
78. 장 78 4.3.5 — 2 차원에서의 고찰: 평형점의 *완전 분류*
79. 장 79 4.3.6 — 평형해의 안정·불안정과 분기: 매개변수 변화의 *질적 변환*
80. 장 80 4.3.7 — 랴푸노프 함수: 선형화 없이 안정성을 직접 증명
81. 장 81 4.3.8 — 푸앵카레 사상: 연속 시스템을 *이산 사상* 으로 환원
82. 장 82 4.4.1 — 정준 방정식의 선형화: 고유값이 *짝지어* 나오는 자동 구조
83. 장 83 4.4.2 — 정준 력학계의 구조 안정성: 일반적으로 *구조 안정이 아니다*
84. 장 84 4.4.3 — 상류에 따른 체적 변화: $\nabla \cdot f$ 가 결정하는 일반 식
85. 장 85 4.4.4 — 리우빌의 정리: 해밀턴 흐름의 *체적 보존* + *분포의 보존*
86. 장 86 4.4.5 — 푸앵카레의 재귀 정리: *언젠가 거의 돌아온다*
87. 장 87 5.1.1 — 해밀턴 원리의 상공간 들어올리기: $(q, p)$ 를 *독립* 변수로
88. 장 88 5.1.2 — 르장드르 변환: $L(q, \dot q) \to H(q, p)$ 의 *대칭적* 사상
89. 장 89 5.1.3 — 상공간 위의 해밀턴 원리: 정준 방정식의 *직접 도출*
90. 장 90 5.1.4 — 좌표 무관 표현: 심플렉틱 다양체 위의 변분 원리
91. 장 91 5.2.1 — 상공간 위의 워이스 원리: 끝점 자유 변분의 *위상공간* 형식
92. 장 92 5.2.2 — 적분 불변식: 흐름이 *보존* 하는 곡선·면적분
93. 장 93 5.2.3 — 카르탕의 원리: 적분 불변식의 *변분 원리* 표현
94. 장 94 5.2.4 — 제1적분과 자유도의 삭감: 위상공간 시점의 환원
95. 장 95 5.3.1 — 정준 변환: 해밀턴 형식을 *보존* 하는 위상공간 변환
96. 장 96 5.3.2 — 변환의 생성 함수: 4 가지 형식 $F_1, F_2, F_3, F_4$ 의 체계
97. 장 97 5.4.1 — 심플렉틱 조건: 자코비안의 *대수적* 정준 조건
98. 장 98 5.4.2 — 모함수와 교환 관계: 두 정의의 *동치성*
99. 장 99 5.4.3 — 정준 변환의 충분조건: 국소 → 전역의 확장
100. 장 100 5.4.4 — 정준 변환군: $Sp(2n, \mathbb R)$ 의 *Lie 군 구조*
101. 장 101 5.5.1 — 적분 불변식 (재차): 정준 변환의 관점에서 다시 보기
102. 장 102 5.5.2 — 라그랑주 괄호: 포아송 괄호의 *쌍대* 객체
103. 장 103 5.5.3 — 사교적: 위상공간 두 점의 *심플렉틱 페어링*
104. 장 104 5.5.4 — 리우빌의 정리 (재논의): 적분 가능 시스템의 *작용-각 변수* 시점