4.4.4 — 리우빌의 정리: 해밀턴 흐름의 체적 보존 + 분포의 보존

해밀턴 흐름이 위상공간 부피를 보존 (리우빌 정리). 동치 형식: 분포 $\rho$ 가 흐름을 따라 $d\rho/dt = 0$ — 리우빌 방정식. 통계역학의 기본 정리.

본문이 말하는 것

리우빌의 정리 (Liouville’s theorem). 해밀턴 흐름 $\phi_t : T^*M \to T^*M$ 이 위상공간의 체적 형식 $\Omega = \omega^n / n!$ 을 보존:

$$\phi_t^*\, \Omega = \Omega \quad \forall t$$

동치적으로, 임의의 영역 $V_0 \subseteq T^*M$ 에 대해

$$|V_t| = |\phi_t(V_0)| = |V_0|$$

(부피가 시간에 무관) — 위 정리는 §4.4.3 의 발산 0 의 결과.

동치적 분포 형식. 위상공간 위의 밀도 함수 $\rho(q, p, t)$ 가 흐름을 따라 보존 되면 ($\rho$ 가 운동을 따라가는 입자의 밀도):

$$\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \{\rho, H\} = 0$$

— 리우빌 방정식 (Liouville equation). 통계역학의 기본 진화 방정식. Klimontovich 방정식, 볼츠만 방정식 의 충돌 항 0 인 극한.

증명 (체적 보존 → 분포 보존): 영역 $V$ 안의 입자수 $N = \int_V \rho\, dV$ 가 운동을 따라 일정 → $dN/dt = 0$. 한편 $V_t$ 가 $V_0$ 로부터 움직이는 영역이라면 입자 수 보존: $N(V_t) = N(V_0)$. 체적 보존을 결합하면 $\rho$ 자체가 흐름을 따라 일정.

한 번 더, 천천히

(1) 거시상 vs 미시상. 위상공간의 작은 영역 이 마이크로 상태 — 한 입자의 미시 상태. 거시상 은 작은 영역에 대한 평균. 리우빌은 미시 상태의 결정론 을 정리하지만 거시 평균 은 기억 을 잊을 수 있다 (정보 손실).

(2) Boltzmann 의 H-정리와의 모순?. Boltzmann 의 H-정리: 비평형 분포가 맥스웰 분포 (평형) 로 수렴. 그러나 리우빌 정리: 운동이 결정론적·시간 가역. 모순처럼 보임 — Loschmidt 의 모순. 해결: 거시 평균에서 정보가 미세 자유도로 흩어진다 — 코스 미세화. 비가역성은 근사.

(3) 양자역학에서의 대응. 양자 진화의 Von Neumann 방정식

$$i\hbar \frac{d\hat\rho}{dt} = [\hat H, \hat\rho]$$

— 정확히 리우빌 방정식의 양자판. $\{·, ·\} \to [·, ·]/(i\hbar)$ 의 정준 양자화. 분포의 양자 형식 ($\hat\rho$ = 밀도 행렬) 이 순수 유니타리 진화 를 받는다.

(4) 비평형 통계역학과의 고전 vs 양자. 고전적 리우빌 방정식은 정확한 진술. 그러나 측정 문제 에서 확률 분포로의 환원 이 필요. 양자 폰 노이만 방정식도 측정 → 환원 로 통계가 등장.

(5) §4.4.5 의 푸앵카레 재귀의 전제. 리우빌 정리가 볼록 영역 위 의 체적 보존 흐름 이라는 것은 다음 §4.4.5 의 재귀 정리 의 전제 조건. 콤팩트 + 체적 보존 + (다양한 다른 조건) 이 재귀 를 보장.

파이썬으로 확인 — 단진자 위상공간의 분포 보존

이 코드의 메시지는 단순하다: 단진자 위상공간의 입자 집단 의 분포 모양 을 시간에 따라 추적. 영역이 늘어지지만 부피는 보존. 통계역학의 섞임 (mixing) 의 시각화.

# 단진자의 위상공간에 점 N=200 을 잡고 흐름으로 추적
# 초기 분포: 작은 사각형 (균일)
# 시간 흐름: 사각형이 *늘어지고 꼬이지만 부피는 보존*
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

def pendulum(t, y):
    theta, p = y
    return [p, -np.sin(theta)]

# 초기 점 집합 (사각형 위 격자)
N = 8
theta_grid = np.linspace(0.5, 0.7, N)
p_grid = np.linspace(0.5, 0.7, N)
Theta0, P0 = np.meshgrid(theta_grid, p_grid)
points_0 = np.stack([Theta0.ravel(), P0.ravel()], axis=1)
print(f"초기 점 수: {len(points_0)}")
print(f"초기 영역: θ ∈ [0.5, 0.7], p ∈ [0.5, 0.7]")
print(f"초기 부피 (사각형): 0.04")

# 흐름으로 추적
def evolve(points, T):
    return np.array([solve_ivp(pendulum, (0, T), p, rtol=1e-9, atol=1e-11).y[:, -1]
                     for p in points])

T_values = [0.0, 2.0, 5.0, 10.0]
print(f"\n{'시각':>6}  {'영역의 모양 (대략)':<40}  {'중심':>15}")
print("-" * 70)
for T in T_values:
    if T == 0:
        pts = points_0
    else:
        pts = evolve(points_0, T)
    
    # 영역의 분산 (mixing 정도)
    spread_theta = pts[:, 0].max() - pts[:, 0].min()
    spread_p = pts[:, 1].max() - pts[:, 1].min()
    center = pts.mean(axis=0)
    
    print(f"  t={T:>3.1f}  Δθ × Δp = {spread_theta:.3f} × {spread_p:.3f}  center=({center[0]:+.3f}, {center[1]:+.3f})")

print("\n→ 영역이 *늘어지고 비틀리지만* 부피는 보존")
print("  (수치적 부피 보존은 §4.4.3 에서 확인)")

이 결과는 리우빌 정리의 시각적 결과 — 위상공간 영역이 섞임 으로 늘어나지만 부피는 유지 — 를 직접 시각화한다.

다음 절(4.4.5)로 가는 다리

체적 보존 흐름 + 콤팩트 무대 → 재귀 정리. 임의의 초기 영역이 언젠가 임의로 가까이 돌아온다. 통계역학의 Loschmidt 모순 과 직접 관련된 놀라운 정리. §4.4.5 가 그 정밀한 형식과 재귀 시간 의 천문학적 크기를 짚는다.