3.1.3 — 확장 상태공간: 위치·속도·시간 의 결합 무대

확장 배위공간 M~\tilde M 의 접번들 TM~T\tilde M. 좌표 (q,q˙,t)(q, \dot q, t) 의 모임 — 라그랑지언이 사는 자리. 변분 원리의 적분기가 정의되는 자연스러운 무대.

본문이 말하는 것

확장 상태공간 (extended state space) S~\tilde S 의 정의:

S~:=T(M×R)≅TM×TR≅TM×R×R\tilde S := T(M \times \mathbb R) \cong TM \times T\mathbb R \cong TM \times \mathbb R \times \mathbb R

— 확장 배위공간 M~\tilde M 의 접번들. 차트 좌표는 (q,q˙,t,t˙)(q, \dot q, t, \dot t). 차원은 2(dim⁡M+1)=2n+22(\dim M + 1) = 2n + 2.

원래 상태공간 (TM×RTM \times \mathbb R, 좌표 (q,q˙,t)(q, \dot q, t), 시간을 외부 매개변수 로 둔 경우) 와의 차이: t˙\dot t 가 별 좌표 로 추가. 단, 보통 t˙=1\dot t = 1 로 고정 (시간이 자기 자신에 대한 단조 매개변수) 이라 사실상 TM×RTM \times \mathbb R 와 동치.

라그랑지언 L:S~→RL : \tilde S \to \mathbb R 는

L(q,q˙,t,t˙)=L~ t˙with L~=L(q,q˙/t˙,t)L(q, \dot q, t, \dot t) = \tilde L\, \dot t \quad \text{with } \tilde L = L(q, \dot q / \dot t, t)

(여기서 q˙/t˙\dot q / \dot t 는 시간에 대한 속도 — 매개변수 ss 가 시간 아닐 때 자코비안 변환). LL 이 t˙\dot t 에 동차 — 매개화 무관 한 작용 1-형식 의 적분기 정의.

한 번 더, 천천히

(1) “동차” 의 의미. L(q,q˙,t,t˙)L(q, \dot q, t, \dot t) 가 t˙,q˙\dot t, \dot q 의 1차 동차 함수 — 즉 L(q,λq˙,t,λt˙)=λL(q,q˙,t,t˙)L(q, \lambda \dot q, t, \lambda \dot t) = \lambda L(q, \dot q, t, \dot t) for λ>0\lambda > 0. 이게 매개화 무관 의 정밀한 조건. 작용 적분이 경로의 모양 에만 의존하고 매개화 속도 에는 무관.

(2) Hilbert 의 변환 형식. 매개화 무관 한 변분 문제의 표준 정리 (Hilbert 1900) — 임의의 1-동차 라그랑지언 LL 에서 출발해도, 고정 매개변수 (t˙=1\dot t = 1) 로 jia 환원하면 보통 라그랑지언 L~(q,q˙,t)\tilde L(q, \dot q, t) 가 나온다. 두 형식이 동치.

(3) §1.4.5 의 접번들 어휘 회수. TM~T\tilde M 이 2(n+1)2(n+1) 차원 매끄러운 다양체. 그 위에서의 미분기하학 (1.4.5 의 어휘) 이 §3.1.4 의 기본 1-형식의 확장형 의 무대.

(4) 일반상대론으로의 다리. 4-차원 시공간 위의 자유낙하 입자의 라그랑지언

L=−mc2−gμνx˙μx˙νL = -m c^2 \sqrt{-g_{\mu\nu} \dot x^\mu \dot x^\nu}

이 정확히 4-속도 x˙μ\dot x^\mu 에 대해 1-동차. 고유시간 τ\tau 매개화로 환원하면 L=−mc2L = -mc^2 (상수) — 의미 있는 항이 기하학적 길이 그 자체.

(5) §4.1.5 의 확장 상공간과 차이. 본 절의 S~\tilde S 는 접번들. §4.1.5 의 확장 상공간은 여접번들 + 에너지 좌표. 르장드르 변환이 두 무대를 잇는다 — 해밀턴 형식의 확장.

다음 절(3.1.4)로 가는 다리

확장 상태공간 위에서 작용 1-형식 — §2.3.1 에서 본 기본 1-형식의 확장 — 을 적을 수 있다. 그 1-형식의 경로 위 적분 이 정확히 작용. 변분 원리가 1-형식의 적분이 정류 라는 기하학적 형식으로 다시 적힌다.