3.1.2 — 확장 배위공간: 공간 + 시간 을 한 자리에 모은 무대

배위공간 $M$ 과 시간축을 결합한 $M \times \mathbb R$ 이 확장 배위공간. 경로가 그 위의 곡선이고, 시간이 좌표의 하나 가 된다. 변분 원리의 자연스러운 무대.

본문이 말하는 것

지금까지의 무대는 배위공간 $M$ — 시간은 외부 매개변수. 변분 원리에서는 시간도 좌표의 일부 로 다루는 것이 자연스럽다.

확장 배위공간 (extended configuration space) $\tilde M$ 의 정의:

$$\tilde M := M \times \mathbb R_t$$

— 배위공간 $M$ 과 시간축 $\mathbb R_t$ 의 곱. 차원은 $\dim M + 1$.

차트 좌표는 $(q^1, \dots, q^n, t)$ — $M$ 의 차트 좌표 + 시간. 한 점이 공간 위치 + 시간 순간 을 동시에 정함.

경로 (해밀턴 원리의 객체) 는 $\tilde M$ 위의 곡선:

$$\sigma : [s_1, s_2] \to \tilde M,\quad \sigma(s) = (q(s), t(s))$$

매개변수 $s$ 가 시간이 아닌 추상 매개변수. 시간 자체가 $\sigma$ 의 좌표 함수. 끝점이 고정된 경로는 $\sigma(s_1) = (q_1, t_1)$, $\sigma(s_2) = (q_2, t_2)$.

원래 형식 ($t$ 를 매개변수로 한 $q(t)$) 은 $\tilde M$ 의 특별한 매개화 — $t = s$ 로 잡은 것.

한 번 더, 천천히

도해를 그려 두면 — 시공간 도해 가 자연스러운 시각화.

(a) 2-D 그림: 1자유도 + 시간. 가로축 = $q$, 세로축 = $t$. 경로는 시공간 안의 곡선. 끝점 $(q_1, t_1)$ 과 $(q_2, t_2)$ 가 시공간의 두 점. 다양한 경로가 두 점을 잇는 세계선 (world line).

(b) 왜 시간을 좌표로? 두 가지 이유.

• (i) 변분의 일관성 — 끝점이 고정 ($t_1, t_2$ 도 고정) 이면 시간을 그저 적분의 한 변수 로 다룰 수 있다. 하지만 §3.2 의 워이스 원리에서는 끝점의 시간이 변동 가능 — 그러려면 시간이 좌표 여야 한다.
• (ii) 일반 상대성 — 일반상대론에서 시공간은 4 차원 다양체. 공간과 시간이 함께 좌표. 본 책의 확장 배위공간 발상이 그 학부 표본.

(c) $\tilde M$ 의 기하학적 표현. $M$ 이 $S^2$ 라면 $\tilde M = S^2 \times \mathbb R$ — 원기둥 모양의 3 차원. 단진자 ($M = S^1$) 라면 $\tilde M = S^1 \times \mathbb R$ — 원기둥 자체. 시간에 따라 각도가 변하는 단진자 운동이 원기둥 위 곡선.

(d) 작용 적분의 시간 자유. $S = \int L\, dt$ 에서 $L\, dt$ 가 1-형식. 1-형식의 적분이 매개변수 자유 라는 것이 §1.6.7 의 결과. 즉

$$S = \int_{\sigma} L\, dt = \int_{s_1}^{s_2} L(q(s), \dot q(s) / \dot t(s), t(s))\, \dot t(s)\, ds$$

(단, $\dot t > 0$ — 시간이 단조 증가). 좌변의 시간 매개화 와 우변의 일반 매개화가 같은 값. 변분 원리도 매개화 자유.

(e) §4 의 시공간 위상공간. 확장 배위공간 $\tilde M$ 의 접번들 $T\tilde M = TM \times T\mathbb R$, 여접번들 $T^*\tilde M = T^*M \times T^*\mathbb R$. §4.1.5 의 확장 상공간 이 이 여접번들 — 해밀턴 형식의 일반화 무대.

다음 절(3.1.3)로 가는 다리

확장 배위공간 $\tilde M$ 은 위치 + 시간. 변분에서는 속도 정보 — 즉 접벡터 — 도 다뤄야 한다. 그 무대가 다음 3.1.3 의 확장 상태공간. $\tilde M$ 의 접번들이다.