3.1.1 — 작용 적분과 해밀턴의 원리: 경로 전체의 함수 가 결정하는 운동

작용 S[q(⋅)]=∫t1t2L(q,q˙,t) dtS[q(\cdot)] = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot q, t)\, dt — 경로 전체에 정의되는 함수의 함수. 실제 운동은 작용이 정류 (stationary) 인 경로다. δS=0\delta S = 0 이 해밀턴의 원리.

본문이 말하는 것

원서 3.1.1 절은 변분 원리 의 시점에서 운동을 다시 본다.

배위공간 MM 의 두 점 q1,q2q_1, q_2 와 두 시각 t1<t2t_1 < t_2 가 주어졌다 하자. 경로 (path) 는 매끄러운 곡선

q:[t1,t2]→M,q(t1)=q1,q(t2)=q2q : [t_1, t_2] \to M,\quad q(t_1) = q_1,\quad q(t_2) = q_2

— 끝점이 고정 된 곡선들의 집합. 이 집합을 경로공간 이라 부를 수 있다 (무한 차원).

작용 (action) 의 정의:

S[q(⋅)]:=∫t1t2L(q(t),q˙(t),t) dtS[q(\cdot)] := \int_{t_1}^{t_2} L(q(t), \dot q(t), t)\, dt

— 경로 전체 를 받아 하나의 실수 를 돌려주는 범함수 (functional). 각 경로마다 다른 작용 값을 가진다.

해밀턴의 원리 (Hamilton’s principle): 두 끝점 (q1,t1)(q_1, t_1) 과 (q2,t2)(q_2, t_2) 를 잇는 실제 운동 경로 는, 그 경로의 작은 변형 에 대해 작용 SS 가 정류 인 경로다:

δS=0\boxed{\quad \delta S = 0 \quad}

— 변분 δS\delta S 가 모든 변형에 대해 1차 항이 사라진다 (단, 끝점 고정).

해밀턴의 원리는 라그랑주 방정식과 동치 (3.1.6 에서 증명). 즉 미분 방정식의 형식 과 적분 형식 이 같은 운동을 묘사한다.

한 번 더, 천천히

(1) “정류” vs “최소”. 흔한 오해 — 실제 운동이 작용을 최소화 한다. 그러나 정확히는 정류 (stationary) — 극소·극대·안장점 모두 가능. 단진자의 짧은 시간 운동 은 작용 최소, 긴 시간 운동 은 안장점. 그래서 “최소 작용 원리” 보다 해밀턴의 원리 가 더 정확한 이름.

(2) 범함수의 미적분. 보통 함수 f(x)f(x) 의 극값은 f′(x)=0f'(x) = 0. 범함수 S[q(⋅)]S[q(\cdot)] 의 극값은 변분 미적분 (calculus of variations) 의 도구로 다룬다. 함수 자체의 작은 변형 q→q+δqq \to q + \delta q (δq(t1)=δq(t2)=0\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0) 에 대해 δS=0\delta S = 0. 3.1.5 에서 본격적으로 계산.

(3) 페르마의 빛의 원리 ↔ 해밀턴의 원리. 빛의 경로는 광학 경로 길이 가 정류 — 페르마 원리. 입자의 경로는 작용 이 정류 — 해밀턴 원리. 같은 형식 (변분 원리) 가 두 다른 물리에 적용. de Broglie 와 Schrödinger 가 빛–파동의 유사로 양자역학을 구성한 출발점.

(4) 양자역학과의 연결. 파인만의 경로적분 (path integral) 형식은 모든 경로 가 작용 / ℏ 에 대한 위상으로 기여. 고전적 운동은 작용이 정류 인 경로 — 위상이 빠르게 변하지 않아 건설적 간섭 으로 도드라진다. 해밀턴 원리의 양자판이 경로적분.

(5) 일반상대론으로의 다리. 시공간의 측지선이 고유 시간 (proper time) 을 정류 — 일반상대론적 자유낙하 입자의 작용은 −mc2∫dτ-mc^2 \int d\tau. 같은 해밀턴 형식 이 시공간 위 로 일반화.

파이썬으로 확인 — 단진자의 작용 시각화

이 코드의 메시지는 단순하다: 단진자에서 실제 운동 의 작용과 작은 변형 경로 의 작용을 직접 계산해 실제 경로의 작용이 정류 임을 본다.

# 단진자 (작은 진폭): L = (1/2) m ℓ² θ̇² + m g ℓ cos θ
# 두 시점 t_1=0, t_2=T 와 두 끝점 θ_1, θ_2 고정
# 실제 운동: θ(t) = θ_0 sin(ω t + φ_0), ω = √(g/ℓ)
# 변형: θ_pert(t) = θ_real(t) + ε * (sin(π t / T))  (끝점 고정)
import numpy as np
from scipy.integrate import simpson, solve_ivp

g, ell, m = 9.81, 1.0, 1.0
omega = np.sqrt(g / ell)
T = np.pi / omega / 4  # 진동 주기의 1/4
ts = np.linspace(0, T, 200)

# 실제 운동 (작은 진폭 한정, 선형 근사)
theta_real = 0.1 * np.cos(omega * ts)  # θ_0 = 0.1 rad, 정지 시작

# 작용 계산 함수
def action(theta_t, dtheta_t):
    L_t = 0.5 * m * ell**2 * dtheta_t**2 + m * g * ell * np.cos(theta_t)
    return simpson(L_t, x=ts)

# 실제 운동의 dθ/dt
dtheta_real = -0.1 * omega * np.sin(omega * ts)
S_real = action(theta_real, dtheta_real)
print(f"실제 운동의 작용 S_real = {S_real:.6f}")

# 다양한 변형의 작용 (ε 변화)
print(f"\n변형 함수: θ_real(t) + ε · sin(π t / T)  (끝점 고정)")
print(f"   ε      S[변형 경로]    S - S_real")
for eps in [-0.05, -0.01, 0.0, 0.01, 0.05]:
    pert = eps * np.sin(np.pi * ts / T)
    dpert = eps * (np.pi / T) * np.cos(np.pi * ts / T)
    theta_p = theta_real + pert
    dtheta_p = dtheta_real + dpert
    S_p = action(theta_p, dtheta_p)
    print(f"  {eps:+.3f}    {S_p:.6f}    {S_p - S_real:+.6f}")

print(f"\n→ ε = 0 (실제 경로) 근방에서 S 가 *정류* (1차 변화 없음, 2차 변화만 보임)")

이 결과는 실제 운동이 작용의 정류점 임을 수치 변분 으로 확인한다. 변형의 1차 항이 사라지고, 2차 항만 남는 모습이 변분 원리의 핵심.

다음 절(3.1.2)로 가는 다리

해밀턴의 원리에서 경로 가 시간을 포함한 객체 라는 점이 본질적 — 단순한 배위공간 MM 의 곡선 이 아니라 공간 + 시간 M×RM \times \mathbb R 위의 곡선. 그 확장된 무대 위에서 변분 원리를 재정리한 것이 다음 3.1.2 의 확장 배위공간.