3.1.4 — 기본 1-형식과 작용 적분: S=∫γθLextS = \int_\gamma \theta_L^{\text{ext}} 의 한 줄

작용 적분이 확장 무대 위의 1-형식 θLext=pαdqα−H dt\theta_L^{\text{ext}} = p_\alpha dq^\alpha - H\, dt 의 곡선 적분. 변분 원리가 1-형식의 적분이 정류 라는 기하학적 형식으로 재정의.

본문이 말하는 것

§2.3.1 의 기본 1-형식 θL=pαdqα\theta_L = p_\alpha dq^\alpha 를 확장 배위공간 M~\tilde M 으로 확장:

θLext:=pα dqα−H dt\theta_L^{\text{ext}} := p_\alpha\, dq^\alpha - H\, dt

여기서 H=pαq˙α−LH = p_\alpha \dot q^\alpha - L (§2.2.4 의 해밀토니언). 이게 확장 기본 1-형식 (또는 Poincaré–Cartan 1-form).

작용 = 1-형식의 곡선 적분. 경로 γ:[t1,t2]→M~\gamma : [t_1, t_2] \to \tilde M, γ(t)=(q(t),t)\gamma(t) = (q(t), t) 의 위에서

∫γθLext=∫t1t2[pαq˙α−H]dt=∫t1t2L dt=S\int_\gamma \theta_L^{\text{ext}} = \int_{t_1}^{t_2} \left[p_\alpha \dot q^\alpha - H\right] dt = \int_{t_1}^{t_2} L\, dt = S

— 작용 적분이 기본 1-형식의 곡선 적분. 변분 원리는

δ∫γθLext=0\delta \int_\gamma \theta_L^{\text{ext}} = 0

— 1-형식의 적분이 정류 라는 기하학적 진술.

§1.6.7 의 미분형식의 적분 이 매개화 자유 — 작용이 좌표 자유 객체로 자연스럽게 정착.

한 번 더, 천천히

(1) 1-형식과 르장드르 변환의 짝짓기. θL=pαdqα\theta_L = p_\alpha dq^\alpha 는 접번들 TMTM 위 — 라그랑주 형식. pαdqαp_\alpha dq^\alpha 가 여접번들 T∗MT^*M 의 정준 1-형식과 정확히 같은 모양. 르장드르 변환 TM→T∗MTM \to T^*M 가 두 무대 사이를 옮긴다. §4.1.3 의 정준 1-형식이 이 자리의 거울.

(2) Maupertuis 의 원리와의 차이. Maupertuis 의 최소 작용 원리 (∫p dq\int p\, dq 의 변분) 는 기본 1-형식의 공간 부분만. 해밀턴 원리는 시간 항 −H dt-H\, dt 까지 포함한 완전한 형식. 두 원리가 서로 다른 변분 조건 — Maupertuis 는 에너지 보존 위 의 변분, 해밀턴은 시간 고정 의 변분.

(3) Poincaré–Cartan 1-형식의 기하학적 정체. θLext\theta_L^{\text{ext}} 가 정의된 곳은 확장 접번들 또는 확장 여접번들. 그 위의 외미분 ω=−dθLext\omega = -d\theta_L^{\text{ext}} 가 심플렉틱 2-형식 (정확히는 contact form). 해밀턴 역학의 위상공간 구조의 공간-시간 통합 형식.

(4) 경로 적분에서의 등장. Feynman 의 경로적분 ∫Dq eiS/ℏ\int \mathcal D q\, e^{iS/\hbar} 에서 위상이 S/ℏS/\hbar. SS 가 1-형식의 적분이라는 사실이 양자 진폭의 명시적 분해 를 가능케 한다. 게이지 이론·Berry phase·Aharonov–Bohm 효과 모두 1-형식의 위상학적 적분 으로 설명.

파이썬으로 확인 — 단진자에서 ∫(p dq−H dt)\int (p\, dq - H\, dt)

이 코드의 메시지는 단순하다: 단진자에서 θLext=p dq−H dt\theta_L^{\text{ext}} = p\, dq - H\, dt 의 곡선 적분을 시점 추적 으로 계산하고, 이게 작용 ∫L dt\int L\, dt 와 정확히 같은 값임을 확인.

# 단진자: L = (1/2) m ℓ² θ̇² + m g ℓ cos θ
# p = m ℓ² θ̇, H = p²/(2 m ℓ²) - m g ℓ cos θ
# θ_L^ext = p dθ - H dt
# 곡선 위 적분: ∫ p (dθ/dt) dt - ∫ H dt = ∫ (p θ̇ - H) dt = ∫ L dt = S
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp, simpson

g, ell, m = 9.81, 1.0, 1.0

def pendulum(t, y):
    theta, dtheta = y
    return [dtheta, -(g / ell) * np.sin(theta)]

sol = solve_ivp(pendulum, (0, 2.0), [np.pi/4, 0.0],
                rtol=1e-10, atol=1e-12, dense_output=True)
ts = np.linspace(0, 2.0, 500)
theta_t, dtheta_t = sol.sol(ts)

# 라그랑지언 계산
L_t = 0.5 * m * ell**2 * dtheta_t**2 + m * g * ell * np.cos(theta_t)
S_from_L = simpson(L_t, x=ts)
print(f"S = ∫ L dt = {S_from_L:.6f}")

# 1-형식 적분으로 다시 계산
# p = m ℓ² θ̇
p_t = m * ell**2 * dtheta_t
# H = p²/(2 m ℓ²) - m g ℓ cos θ
H_t = p_t**2 / (2 * m * ell**2) - m * g * ell * np.cos(theta_t)
# ∫ p dθ = ∫ p (dθ/dt) dt = ∫ p θ̇ dt
integrand_pdq = p_t * dtheta_t
S_from_form = simpson(integrand_pdq - H_t, x=ts)
print(f"S = ∫(p dθ - H dt) = {S_from_form:.6f}")
print(f"두 값 차이: {abs(S_from_L - S_from_form):.2e}")

# H 보존 확인 (1.6.5 회수)
print(f"\nH(t=0) = {H_t[0]:.6f}, H(t=2) = {H_t[-1]:.6f}, 변동폭 = {np.ptp(H_t):.2e}")
print("→ H 가 일정해서 ∫ H dt = H · (t_2 - t_1) 로 단순화 가능")

이 결과는 Lagrangian 형식의 작용 적분 과 1-형식의 곡선 적분 이 정확히 같은 값임을 수치로 확인한다. 두 형식의 동치성이 §4 의 해밀턴 형식으로 가는 길.

다음 절(3.1.5)로 가는 다리

작용이 1-형식의 적분 이라는 것이 박혔다. 그 적분의 변분 — 경로를 작게 바꿨을 때의 1차 변화 — 을 본격적으로 계산한다. 결과가 오일러–라그랑주 항 과 경계 항 의 합. 3.1.5 의 주제.