3.1.6 — 해밀턴의 원리와 라그랑주 방정식: 두 형식의 동치성

끝점 고정 변분 δS=0\delta S = 0 이 임의의 δq\delta q 에 대해 성립한다는 것 ↔ 오일러–라그랑주 방정식. 변분의 기본 정리가 그 동치성의 비축약 길.

본문이 말하는 것

3.1.5 에서 정리된 변분

δS=∫t1t2[∂L∂qα−ddt∂L∂q˙α]δqα dt+[pα δqα]t1t2\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left[\frac{\partial L}{\partial q^\alpha} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q^\alpha}\right] \delta q^\alpha\, dt + [p_\alpha\, \delta q^\alpha]_{t_1}^{t_2}

해밀턴의 원리는 끝점 고정 — δqα(t1)=δqα(t2)=0\delta q^\alpha(t_1) = \delta q^\alpha(t_2) = 0. 경계 항이 사라지고

δS=∫t1t2Eα(q,q˙,t) δqα(t) dt\delta S = \int_{t_1}^{t_2} E_\alpha(q, \dot q, t)\, \delta q^\alpha(t)\, dt

여기서 Eα:=∂L/∂qα−d(∂L/∂q˙α)/dtE_\alpha := \partial L/\partial q^\alpha - d(\partial L/\partial \dot q^\alpha)/dt. 해밀턴 원리 (δS=0\delta S = 0 for all admissible δq\delta q) 는

∫t1t2Eα(t) δqα(t) dt=0∀ δq\int_{t_1}^{t_2} E_\alpha(t)\, \delta q^\alpha(t)\, dt = 0 \quad \forall\, \delta q

변분의 기본 정리 (fundamental lemma of variational calculus): 매끄러운 함수 ff 가 모든 매끄러운 경계 0 변분 δq\delta q 에 대해 ∫f δq dt=0\int f\, \delta q\, dt = 0 라면 f≡0f \equiv 0.

증명 스케치: 만약 어떤 t0∈(t1,t2)t_0 \in (t_1, t_2) 에서 f(t0)≠0f(t_0) \neq 0 라면, t0t_0 의 작은 근방에서 ff 와 같은 부호 인 δq\delta q 를 만들 수 있다 (예: bump function). 그러면 ∫fδq dt>0\int f \delta q\, dt > 0 — 가정 위반.

본 정리를 적용하면 Eα(t)≡0E_\alpha(t) \equiv 0 — 즉

ddt∂L∂q˙α−∂L∂qα=0(α=1,…,n)\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q^\alpha} - \frac{\partial L}{\partial q^\alpha} = 0 \quad (\alpha = 1, \dots, n)

— 오일러–라그랑주 방정식.

역도 성립: EL 식이 만족되면 Eα=0E_\alpha = 0, 그래서 임의의 끝점 0 변분 에 대해 δS=0\delta S = 0. 즉

해밀턴 원리⟺오일러–라그랑주 방정식\text{해밀턴 원리} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{오일러–라그랑주 방정식}

한 번 더, 천천히

도해 설명 — 두 형식의 논리적 동치성 은 단순한 수학적 정체 지만, 그 철학적 무게 가 다르다.

(a) 미분 형식 vs 적분 형식. EL 식은 각 시각의 미분 방정식 (운동의 국소 결정). 해밀턴 원리는 전체 경로의 적분 조건 (운동의 전체적 결정). 같은 운동 을 다른 시점 에서 본 것.

(b) 변분의 기본 정리의 비축약 의미. 정리 자체는 해석적 (continuity + 임의의 bump function) — 공간 의존 안 함. 그러나 해밀턴 원리에서 EL 식으로의 추출 도구. 변분 어휘의 결정적 도구.

(c) 양자역학에서의 현실적 의미. 양자역학에서는 모든 경로가 기여 — 어느 한 경로가 현실의 운동 이 아니다. 그러나 작용이 정류 인 고전 경로 근방이 건설적 간섭 으로 도드라진다. 해밀턴 원리는 고전 한계의 본질.

(d) 라그랑지언의 유일성 모듈로 (2.1.5 회수). 라그랑지언 LL 과 L+dF/dtL + dF/dt 가 같은 EL 식 을 만든다. 작용으로는 S→S+F(q2,t2)−F(q1,t1)S \to S + F(q_2, t_2) - F(q_1, t_1) — 끝점 고정 변분에서 상수 차이 — δS\delta S 가 같다. 게이지 자유의 변분 형식 표현.

(e) 일반 변분 원리로의 일반화. 해밀턴 원리의 형식 — δS=0\delta S = 0 — 가 어떤 라그랑지언에서도 통한다. 표준 모형의 게이지 라그랑지언, 일반상대론의 Einstein-Hilbert 작용, 끈 이론의 Polyakov 작용 — 모두 변분 원리 의 같은 형식.

(f) 비홀로노믹의 예외 (회수). §2.5.3 의 vakonomic vs nonholonomic 미묘함. 비홀로노믹 구속의 경우 해밀턴 원리의 형식 적용 (vakonomic) 이 실제 물리 (다랑베르) 와 다른 결과. 변분 원리의 적용 범위 제한. 본 절에서는 홀로노믹 한정 으로 동치성이 성립.

다음 절(3.1.7)로 가는 다리

EL 식이 각 좌표 표현 에서 박혔다. 그러나 확장 배위공간 위 의 좌표 자유 형식 — 시간을 포함한 무대 위에서의 EL 식 — 도 자연스럽게 정의된다. §3.1.7 이 그 형식을 박는다.