3.1.7 — 라그랑주 방정식의 확장 배위공간 표현: 시간을 좌표 로 다루는 형식

확장 배위공간 M~=M×R\tilde M = M \times \mathbb R 위의 좌표 자유 라그랑주식. 시간이 공간 좌표와 동등 한 역할을 하는 형식. §3.2 의 워이스 원리와 §4 의 시간 의존 해밀턴 형식의 무대.

본문이 말하는 것

확장 배위공간 M~=M×Rt\tilde M = M \times \mathbb R_t 위의 일반화 좌표 를 QA=(q1,…,qn,t)Q^A = (q^1, \dots, q^n, t) 로 적는다 (A=1,…,n+1A = 1, \dots, n+1). 매개변수 ss 에 대해 Q˙A=dQA/ds\dot Q^A = dQ^A / ds.

확장 라그랑지언 L~(Q,Q˙)\tilde L(Q, \dot Q) 가 Q˙\dot Q 에 대해 1차 동차 (§3.1.3) 라면, t˙=1\dot t = 1 매개화로 환원하면 원래 L(q,q˙,t)L(q, \dot q, t) 가 나온다.

확장 라그랑주식

dds∂L~∂Q˙A−∂L~∂QA=0(A=1,…,n+1)\frac{d}{ds}\frac{\partial \tilde L}{\partial \dot Q^A} - \frac{\partial \tilde L}{\partial Q^A} = 0 \quad (A = 1, \dots, n+1)

— n+1n+1 개의 식. 하지만 동차성 으로 인해 독립인 식이 nn 개. 그래서 결국 보통 EL 식과 동치.

A=tA = t 의 경우. 이 식이 에너지 보존식 으로 환원된다 (또는 시간 미분 식). 정확히는

dHdt=−∂L∂t\frac{d H}{dt} = -\frac{\partial L}{\partial t}

— §2.2.4 의 결과 재확인. 즉 시간 좌표의 EL 식 = 에너지 식.

한 번 더, 천천히

도해 설명 — 확장 형식의 기하학적 의미를 짚어 보자.

(a) 시간이 좌표 가 되는 일. 보통 라그랑지언 L(q,q˙,t)L(q, \dot q, t) 에서 tt 는 외부 매개변수. 확장 형식 L~(Q,Q˙)\tilde L(Q, \dot Q) 에서 tt 는 좌표 Qn+1Q^{n+1}. 매개변수 ss 가 추상적 매개. 이 역할 전환 이 §3.2 의 워이스 원리 (시간 끝점도 변동) 에서 본격적으로 활용.

(b) 1차 동차성의 역할. L~\tilde L 가 Q˙\dot Q 에 1차 동차 → 작용 적분 ∫L~ ds\int \tilde L\, ds 가 매개변수 자유. 경로 자체의 기하학적 모양만 이 작용을 결정. 시간 자체가 운동의 일부 라는 시점.

(c) Hamilton-Jacobi 식의 시드. 작용 S(q,t)S(q, t) 를 끝점의 함수 로 보면 ∂S/∂qα=pα\partial S/\partial q^\alpha = p_\alpha, ∂S/∂t=−H\partial S/\partial t = -H — 공간·시간 좌표 양쪽에 대해 미분. 이게 정확히 확장 배위공간 위의 1-형식 dS=pαdqα−Hdt=θLextdS = p_\alpha dq^\alpha - H dt = \theta_L^{\text{ext}} — §4.4 의 해밀턴-야코비식의 시작.

(d) 일반 상대성 이론에서의 모습. GR 의 자유낙하 입자 라그랑지언

L~=−mc−gμνx˙μx˙ν\tilde L = -m c \sqrt{-g_{\mu\nu} \dot x^\mu \dot x^\nu}

이 4-속도 x˙μ\dot x^\mu 에 1차 동차. 본 절의 확장 형식이 정확한 학부 표본. 시간이 공간 좌표와 동등한 위치 — 본 책의 학부 비상대론 형식에서도 같은 구조가 자연스럽게 등장.

(e) §4.1.5 의 확장 상공간으로의 다리. 본 절의 확장 라그랑주 무대 의 르장드르 변환이 §4.1.5 의 확장 위상공간 (T∗M~T^*\tilde M, 좌표 (q,t,p,−H)(q, t, p, -H)). 거기서 해밀턴 형식의 자연스러운 확장 이 가능.

(f) 변분 원리의 일반 형식. 임의의 차원 매개변수 자유 변분 원리가 같은 형식. 끈 이론 (Polyakov 작용) 도 2차원 매개공간 위의 1차 동차 라그랑지언 — 본 절의 형식의 2차원판.

다음 절(3.1.8)로 가는 다리

해밀턴 원리는 자유 변분 — 즉 δq\delta q 가 임의 — 을 가정했다. 구속이 있는 경우 (홀로노믹 구속) 의 변분 원리는? 라그랑주의 미정 곱셈자법 (§2.5 회수) 이 변분 형식으로 다시 등장. 3.1.8 이 그 형식.