3.2.2 — 확장 배위공간의 모멘트 함수: S(q,t)S(q, t) 가 운동량을 생성

끝점의 함수로 본 작용 S(q,t)S(q, t). 그 편미분 ∂S/∂qα=pα\partial S/\partial q^\alpha = p_\alpha, ∂S/∂t=−H\partial S/\partial t = -H — 모멘트 함수 의 정체. §4.4 의 해밀턴-야코비식의 출발점.

본문이 말하는 것

§3.2.1 의 워이스 원리에서, 실제 운동의 작용 을 끝점의 함수 로 본다:

S(q2,t2;q1,t1):=∫(γreal)L dtS(q_2, t_2; q_1, t_1) := \int_{(\gamma_{\text{real}})} L\, dt

여기서 γreal\gamma_{\text{real}} 은 (q1,t1)(q_1, t_1) 에서 (q2,t2)(q_2, t_2) 로 가는 실제 운동 경로 (라그랑주 방정식의 해). 만약 그 경로가 유일하다면 SS 는 끝점의 함수.

모멘트 함수 (momentum function) 또는 작용 함수 의 성질:

∂S∂q2α=pα(t2),∂S∂t2=−H(t2)\frac{\partial S}{\partial q_2^\alpha} = p_\alpha(t_2),\quad \frac{\partial S}{\partial t_2} = -H(t_2)

∂S∂q1α=−pα(t1),∂S∂t1=H(t1)\frac{\partial S}{\partial q_1^\alpha} = -p_\alpha(t_1),\quad \frac{\partial S}{\partial t_1} = H(t_1) (시작점 미분).

증명: 워이스 원리 δS=[pδq−Hδt]12\delta S = [p \delta q - H \delta t]_1^2 에서, 시작점 고정 + 끝점 변동 하면 위의 끝점 미분이 떨어진다.

의미. S(q,t)S(q, t) 가 확장 배위공간 위의 함수. 그 미분형식

dS=∂S∂qα dqα+∂S∂t dt=pα dqα−H dt=θLextdS = \frac{\partial S}{\partial q^\alpha}\, dq^\alpha + \frac{\partial S}{\partial t}\, dt = p_\alpha\, dq^\alpha - H\, dt = \theta_L^{\text{ext}}

— 확장 기본 1-형식이 SS 의 전미분. 즉 θLext\theta_L^{\text{ext}} 가 국소적으로 정확함 (exact, §1.6.6 회수). SS 가 그 원시함수.

한 번 더, 천천히

도해 설명 — 모멘트 함수의 기하학적 정체를 짚자.

(a) 작용이 경로의 범함수 에서 점의 함수 로 변하는 일. §3.1.1 에서 S[q(⋅)]S[q(\cdot)] 는 경로 전체 의 함수. §3.2.2 에서 S(q2,t2)S(q_2, t_2) 는 끝점 두 개의 함수. 실제 운동 경로 하나에 끝점 두 개를 박아 작용을 함수 로 환원.

(b) dS=θLextdS = \theta_L^{\text{ext}} 의 위상학적 의미. §1.6.6 의 푸앵카레 보조정리 회수 — 확장 1-형식 θLext\theta_L^{\text{ext}} 가 국소적으로 정확함. 그 원시함수가 모멘트 함수 SS. 전역적 인 SS 는 경로가 유일 한 영역에서만 잘 정의됨. 카우스틱 (caustic) 에서 경로가 두 개 이상 — SS 가 다가 함수 (multi-valued).

(c) 해밀턴-야코비식의 시드. ∂S/∂t+H(q,∂S/∂q,t)=0\partial S/\partial t + H(q, \partial S/\partial q, t) = 0 — 해밀턴-야코비식 (§4.4). 이게 모멘트 함수가 만족하는 1차 편미분 방정식. 식의 해 S(q,t)S(q, t) 가 운동의 전체 정보 를 인코딩.

(d) 광학과의 유사. 광선의 광학 경로 가 eikonal 함수 Φ\Phi 를 만든다. 그 미분이 빛의 방향. 입자의 작용 SS 가 유사 eikonal, 그 미분이 운동량. 광학과 입자 역학의 평행 관계 — de Broglie 의 물질파 발상의 수학적 출처.

(e) 양자역학에서의 위상. 양자역학에서 파동함수 ψ=AeiS/ℏ\psi = A e^{iS/\hbar}. 고전 한계 (ℏ→0\hbar \to 0) 에서 ∇ψ/ψ≈i(∇S)/ℏ=ip/ℏ\nabla \psi / \psi \approx i (\nabla S)/\hbar = i p/\hbar. 모멘트 함수 SS 의 그라디언트가 운동량 이라는 사실의 양자판. WKB 근사의 출발점.

(f) 생성 함수 어휘의 시작. S(q,t)S(q, t) 가 운동량과 에너지를 생성 하는 함수. §5.3.1 의 정준 변환의 생성 함수 가 같은 형식 — 변환을 만드는 함수. 본 절이 그 어휘의 시작.

다음 절(3.2.3)로 가는 다리

모멘트 함수의 어휘 — 워이스 원리 + 작용을 끝점의 함수로 본 시점 — 이 박혔다. 이제 노에터 정리를 시간 변환 포함 으로 일반화할 수 있다. 연속 대칭의 변환이 시간까지 옮길 때 의 보존량 — 본 절의 어휘로 깔끔히 적힌다. §3.2.3 의 노에터 정리의 확장 이 그 결과.