3.2.1 — 워이스의 원리: 끝점이 움직이는 변분

끝점이 자유롭게 움직이는 변분에서 δS\delta S 의 경계 항이 사라지지 않고 운동량과 에너지의 정보 를 박는다. δS=[pαδqα−Hδt]t1t2\delta S = [p_\alpha \delta q^\alpha - H \delta t]_{t_1}^{t_2} 가 워이스의 원리의 핵심 등식.

본문이 말하는 것

해밀턴의 원리 (§3.1.6) 는 끝점 고정 변분 — δq(t1)=δq(t2)=0\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0, 시간 끝점도 고정. 워이스의 원리 (Weiss’s principle) 는 그 일반화로, 끝점이 자유롭게 움직일 수 있는 변분을 다룬다.

확장 배위공간 M~=M×Rt\tilde M = M \times \mathbb R_t 의 경로 γ(s)=(q(s),t(s))\gamma(s) = (q(s), t(s)) 에서, 끝점 (q1,t1)(q_1, t_1) 과 (q2,t2)(q_2, t_2) 가 작은 변형 가능. 작용 S=∫γθLext=∫(pαq˙α−H)dtS = \int_\gamma \theta_L^{\text{ext}} = \int (p_\alpha \dot q^\alpha - H) dt 의 변분:

δS=∫t1t2[∂L∂qα−ddt∂L∂q˙α]δqα dt+[pα δqα−H δt]t1t2\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left[\frac{\partial L}{\partial q^\alpha} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q^\alpha}\right] \delta q^\alpha\, dt + \left[p_\alpha\, \delta q^\alpha - H\, \delta t\right]_{t_1}^{t_2}

여기서 δqα\delta q^\alpha 는 경로 위의 좌표 변분, δt\delta t 는 시간 끝점의 변분. 두 끝점 모두 변동 가능.

실제 운동 의 경로에서는 EL 항 (∂L/∂q−d(∂L/∂q˙)/dt\partial L/\partial q - d(\partial L/\partial \dot q)/dt) 이 0 — 내부 적분이 사라진다. 그래서

δS=[pα δqα−H δt]t1t2\boxed{\quad \delta S = \left[p_\alpha\, \delta q^\alpha - H\, \delta t\right]_{t_1}^{t_2} \quad}

— 워이스의 원리. 실제 운동의 작용의 변분이 경계 항만으로 결정.

의미. 작용 SS 를 경로의 시작·끝점의 함수 로 보면, 그 끝점에 대한 미분 이

∂S∂q2α=pα(t2),∂S∂t2=−H(t2)\frac{\partial S}{\partial q_2^\alpha} = p_\alpha(t_2),\quad \frac{\partial S}{\partial t_2} = -H(t_2)

— 작용이 운동량과 에너지를 생성하는 함수. §3.2.2 의 모멘트 함수, §4.4 의 해밀턴-야코비식의 출발점.

한 번 더, 천천히

(1) “원리” 가 원리 인 이유. 해밀턴의 원리는 δS=0\delta S = 0 → 운동방정식. 워이스의 원리는 δS=\delta S = 경계 항 — 더 일반적인 진술. 해밀턴의 원리는 워이스의 원리의 특수 경우 (끝점 고정 → 경계 항 0).

(2) 작용의 함수 로의 시점 전환. 해밀턴의 원리에서 SS 는 경로 위의 범함수. 워이스의 원리에서 SS 는 끝점의 함수 — 같은 양을 다른 정의역 으로 본다. 이 시점 전환이 해밀턴-야코비식의 핵심.

(3) 경계 항의 기하학적 의미. pαδqα−Hδtp_\alpha \delta q^\alpha - H \delta t 는 Poincaré–Cartan 1-형식 θLext\theta_L^{\text{ext}} 의 경계점에서의 평가. 즉 작용의 변분이 경계점의 1-형식 값 으로 결정. 미분형식의 어휘로 자연스럽게 표현.

(4) 매개화 자유의 역할. §3.1.3 의 확장 상태공간에서 라그랑지언이 1차 동차 — 매개변수 자유. 그래서 시간 끝점의 변분 δt\delta t 가 추가 자유도 가 아닌 경로의 끝점 위치 변동. 변분의 어휘가 기하학적 자연스러움 을 갖는다.

(5) §3.2.3 의 노에터 확장으로의 다리. 워이스의 원리에서 대칭 변환 — 경로를 자기 자신으로 옮기는 변환 — 을 적용하면 변분이 정확히 0. 그러면 경계 항이 보존됨 — 대칭의 양 끝에서 같은 값. 노에터 정리의 강화 형식의 출발점.

파이썬으로 확인 — 단진자의 ∂S/∂t2=−H\partial S / \partial t_2 = -H

이 코드의 메시지는 단순하다: 단진자에서 시간 끝점 t2t_2 을 움직이며 작용을 다시 계산해, 작용의 시간 끝점 미분이 −H-H 임을 수치로 확인.

# 단진자: L = (1/2) m ℓ² θ̇² + m g ℓ cos θ
# 같은 초기조건에서 운동을 따라가며, 시간 끝점 t_2 가 달라질 때
# 작용 S(t_2) 의 변화율 dS/dt_2 = -H(t_2) 임을 확인
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp, simpson

g, ell, m = 9.81, 1.0, 1.0

def pendulum(t, y):
    theta, dtheta = y
    return [dtheta, -(g / ell) * np.sin(theta)]

# 같은 초기조건 — 시간을 [0, t_2] 로 변화시키며 작용 계산
y0 = [np.pi / 4, 0.5]  # θ_0 = π/4, θ̇_0 = 0.5
sol = solve_ivp(pendulum, (0, 3.0), y0, rtol=1e-10, atol=1e-12, dense_output=True)

# t_2 별 작용 계산
def action_to_t2(t_2):
    ts = np.linspace(0, t_2, 500)
    theta_t, dtheta_t = sol.sol(ts)
    L_t = 0.5 * m * ell**2 * dtheta_t**2 + m * g * ell * np.cos(theta_t)
    return simpson(L_t, x=ts)

# t_2 변화시키며 S(t_2) 계산
t2_values = np.linspace(0.5, 2.5, 21)
S_values = np.array([action_to_t2(t2) for t2 in t2_values])

# 수치 미분 dS/dt_2
dS_dt2 = np.gradient(S_values, t2_values)

# 이론값 -H(t_2)
H_values = []
for t2 in t2_values:
    theta, dtheta = sol.sol(t2)
    H = 0.5 * m * ell**2 * dtheta**2 - m * g * ell * np.cos(theta)
    H_values.append(H)
H_values = np.array(H_values)

print(f"t_2  |  dS/dt_2 (수치)  |  -H(t_2) (이론)  |  차이")
print("-" * 60)
for i in range(len(t2_values))[::4]:
    print(f"{t2_values[i]:.2f}  |  {dS_dt2[i]:+.6f}     |  {-H_values[i]:+.6f}     |  {abs(dS_dt2[i] + H_values[i]):.2e}")

print(f"\n→ 작용의 *시간 끝점 미분* 이 *음의 해밀토니언*. 워이스의 원리 한 표.")

이 결과는 작용의 끝점에 대한 미분이 운동량·에너지 임을 수치로 확인. 같은 운동의 작용을 끝점의 함수로 본 시점 의 의미를 시각화.

다음 절(3.2.2)로 가는 다리

워이스의 원리가 작용 S(q,t)S(q, t) — 끝점의 함수 — 의 미분이 운동량·에너지임을 박았다. 그 함수 SS 의 정체 — 모멘트 함수 — 가 §4.4 의 해밀턴-야코비식의 출발점. §3.2.2 가 그 함수의 정의와 성질을 짚는다.