4.1.2 — 정준 방정식: q˙=∂H/∂p\dot q = \partial H/\partial p, p˙=−∂H/∂q\dot p = -\partial H/\partial q 의 대칭적 1차 ODE

르장드르 변환 H(q,p,t)=pαq˙α−LH(q, p, t) = p_\alpha \dot q^\alpha - L 로 라그랑주의 2차 ODE 가 대칭적 1차 ODE 두 묶음 으로 변한다. 해밀턴 역학의 시작.

본문이 말하는 것

라그랑지언 L(q,q˙,t)L(q, \dot q, t) 가 정칙 — det⁡(∂2L/∂q˙α∂q˙β)≠0\det(\partial^2 L/\partial \dot q^\alpha \partial \dot q^\beta) \neq 0 — 이라 하자. 그러면 pα=∂L/∂q˙αp_\alpha = \partial L/\partial \dot q^\alpha 가 q˙α\dot q^\alpha 에 대해 비퇴화 — *q˙α=q˙α(q,p,t)\dot q^\alpha = \dot q^\alpha(q, p, t) 로 역해 가능.

해밀토니언 (Hamiltonian) 의 정의:

H(q,p,t):=pα q˙α(q,p,t)−L(q,q˙(q,p,t),t)H(q, p, t) := p_\alpha\, \dot q^\alpha(q, p, t) - L(q, \dot q(q, p, t), t)

— 르장드르 변환. HH 는 (q,p,t)(q, p, t) 의 함수 — 더 이상 q˙\dot q 가 안 들어감.

정준 방정식 (canonical equations, Hamilton’s equations):

q˙α=∂H∂pα,p˙α=−∂H∂qα\boxed{\quad \dot q^\alpha = \frac{\partial H}{\partial p_\alpha}, \quad \dot p_\alpha = -\frac{\partial H}{\partial q^\alpha} \quad}

— 대칭적인 1차 ODE 짝. 위치와 운동량의 같은 자격 이 식에서 드러난다.

증명 스케치 (본문): 라그랑주식 dp/dt=∂L/∂qdp/dt = \partial L/\partial q + 르장드르 변환의 미분 관계 (∂H/∂p=q˙\partial H/\partial p = \dot q, ∂H/∂q=−∂L/∂q\partial H/\partial q = -\partial L/\partial q) 에서 직접 따라 나온다.

부호의 역학적 의미. 두 식의 부호 차이 — q˙\dot q 는 +∂H/∂p+\partial H/\partial p, p˙\dot p 는 −∂H/∂q-\partial H/\partial q — 이 심플렉틱 구조 (§4.2.1) 의 표현. 운동량이 위치에너지의 그라디언트의 음의 방향 으로 변하는 자연스러운 물리적 부호.

한 번 더, 천천히

(1) 르장드르 변환의 기하학적 의미. L(q,q˙)L(q, \dot q) 의 q˙\dot q 그라디언트 가 pp. 르장드르 변환은 (q,q˙)∈TM(q, \dot q) \in TM 의 점 을 (q,p)∈T∗M(q, p) \in T^*M 의 점 으로 옮기는 번들 사상. TM→T∗MTM \to T^*M — 접번들과 여접번들 사이의 사상. §1.6.1 의 여접공간 어휘 회수.

(2) 단진자 예시. L=12mℓ2θ˙2+mgℓcos⁡θL = \frac{1}{2} m \ell^2 \dot\theta^2 + m g \ell \cos\theta. p=∂L/∂θ˙=mℓ2θ˙p = \partial L/\partial \dot\theta = m \ell^2 \dot\theta → θ˙=p/(mℓ2)\dot\theta = p / (m\ell^2). 해밀토니언

H=pθ˙−L=p2mℓ2−[p22mℓ2+mgℓcos⁡θ]=p22mℓ2−mgℓcos⁡θH = p \dot\theta - L = \frac{p^2}{m\ell^2} - \left[\frac{p^2}{2 m \ell^2} + m g \ell \cos\theta\right] = \frac{p^2}{2 m \ell^2} - m g \ell \cos\theta

정준 방정식: θ˙=p/(mℓ2)\dot\theta = p / (m\ell^2), p˙=−mgℓsin⁡θ\dot p = -m g \ell \sin\theta. 첫 식과 둘째 식을 결합하면 θ¨=p˙/(mℓ2)=−(g/ℓ)sin⁡θ\ddot\theta = \dot p / (m\ell^2) = -(g/\ell) \sin\theta — 익숙한 단진자 식.

(3) 르장드르 변환의 가역성. LL 이 정칙이면 르장드르가 가역 — HH 의 르장드르 변환이 다시 LL. L↔HL \leftrightarrow H 가 동치인 두 표현. 두 형식이 같은 운동을 다른 시점에서 봄.

(4) 비정칙 라그랑지언의 Dirac 형식. LL 이 비정칙 — det⁡(∂2L/∂q˙α∂q˙β)=0\det(\partial^2 L/\partial \dot q^\alpha \partial \dot q^\beta) = 0 — 인 경우 르장드르 가역이 깨진다. Dirac 의 구속 시스템 (게이지 이론, 일반상대론) 의 표준 처리. 본 책의 범위 밖.

(5) 위상공간 흐름. (q,p)(q, p) 가 위상공간 T∗MT^*M 의 좌표. 정준 방정식이 위상공간 위의 벡터장 을 정의 — 해밀토니언 벡터장 (§4.2.3). 운동은 그 벡터장의 적분곡선. 1.4.6 의 1-매개변수 변환군의 해밀턴판.

파이썬으로 확인 — 단진자, 라그랑주 vs 해밀턴 형식의 적분

이 코드의 메시지는 단순하다: 단진자를 (a) 라그랑주식 θ¨=−(g/ℓ)sin⁡θ\ddot\theta = -(g/\ell)\sin\theta 의 2차 ODE 와 (b) 정준 방정식 θ˙=p/(mℓ2)\dot\theta = p/(m\ell^2), p˙=−mgℓsin⁡θ\dot p = -mg\ell\sin\theta 의 1차 ODE 짝 두 방식으로 적분. 같은 궤적이 나오는지 확인.

# 단진자: m = ℓ = 1, g = 9.81
# (a) Lagrange: θ̈ = -(g/ℓ) sin θ — 2차 ODE
# (b) Hamilton: θ̇ = p/(m ℓ²), ṗ = -m g ℓ sin θ — 1차 ODE × 2
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

m, ell, g = 1.0, 1.0, 9.81

# (a) 라그랑주
def lagrange(t, y):
    theta, dtheta = y
    return [dtheta, -(g / ell) * np.sin(theta)]

# (b) 해밀턴 — 같은 초기조건이지만 (θ, p) 로 변환
def hamilton(t, state):
    theta, p = state
    dtheta = p / (m * ell**2)
    dp = -m * g * ell * np.sin(theta)
    return [dtheta, dp]

# 초기조건: θ_0 = π/4, θ̇_0 = 0 → p_0 = m ℓ² · 0 = 0
y0_lag = [np.pi/4, 0.0]
y0_ham = [np.pi/4, 0.0]  # p = m ℓ² θ̇ = 0

sol_a = solve_ivp(lagrange, (0, 5.0), y0_lag, rtol=1e-10, atol=1e-12, dense_output=True)
sol_b = solve_ivp(hamilton, (0, 5.0), y0_ham, rtol=1e-10, atol=1e-12, dense_output=True)

ts = np.linspace(0, 5, 200)
theta_a = sol_a.sol(ts)[0]
theta_b = sol_b.sol(ts)[0]
p_b = sol_b.sol(ts)[1]

# θ 의 차이
diff = np.max(np.abs(theta_a - theta_b))
print(f"라그랑주 vs 해밀턴 의 max |θ 차이|: {diff:.2e}")

# 해밀턴 형식의 운동량 보존 확인 (단진자라 보존 안 되지만 에너지는 보존)
# H = p²/(2 m ℓ²) - m g ℓ cos θ
H_t = p_b**2 / (2 * m * ell**2) - m * g * ell * np.cos(theta_b)
print(f"\nH 의 변동폭: {np.ptp(H_t):.2e}  (= 0 기대 — 에너지 보존)")
print(f"H 의 초기값: {H_t[0]:.6f}")
print(f"H 의 평균:   {H_t.mean():.6f}")

이 결과는 (a) 두 형식이 같은 궤적 을 만들고, (b) 해밀토니언 HH 가 기계 엡실론 수준으로 보존 됨을 보인다. 르장드르 변환의 동치성 + 에너지 보존 모두 확인.

다음 절(4.1.3)로 가는 다리

정준 방정식이 위상공간 (q,p)(q, p) 위의 1차 ODE 시스템. 그 위상공간의 기하학적 구조 — 정준 1-형식 θ=pαdqα\theta = p_\alpha dq^\alpha — 이 §4.1.3 의 주제. 이게 §4.2 의 심플렉틱 형식 ω=−dθ=dpα∧dqα\omega = -d\theta = dp_\alpha \wedge dq^\alpha 의 출발점.