4.1.3 — 상공간과 정준 1-형식: 해밀턴 역학의 무대

위상공간 T∗MT^*M 의 좌표 (qα,pα)(q^\alpha, p_\alpha). 그 위에 자연스럽게 정의되는 정준 1-형식 θ=pαdqα\theta = p_\alpha dq^\alpha. 그 외미분 ω=dθ=dpα∧dqα\omega = d\theta = dp_\alpha \wedge dq^\alpha 가 심플렉틱 2-형식.

본문이 말하는 것

상공간 (phase space) T∗MT^*M — 배위공간 MM 의 여접번들 (§1.6.1 회수). 점이 위치 q∈Mq \in M + 그 점의 코벡터 p∈Tq∗Mp \in T_q^*M. 한 점이 역학 시스템의 상태 — 위치와 운동량의 결합.

차원: dim⁡T∗M=2dim⁡M=2n\dim T^*M = 2 \dim M = 2n.

차트 좌표: MM 의 차트 (qα)(q^\alpha) 에 대응하는 T∗MT^*M 의 차트는 (qα,pα)(q^\alpha, p_\alpha) — pαp_\alpha 는 기저 코벡터 dqαdq^\alpha 의 성분. α=1,…,n\alpha = 1, \dots, n 이라 총 2n2n 개의 좌표.

정준 1-형식 (canonical 1-form, tautological 1-form) θ\theta on T∗MT^*M:

θ:=pα dqα\theta := p_\alpha\, dq^\alpha

— 좌표 표현. 의미: 위상공간의 한 점 (q,p)(q, p) 에서, 기저 다양체 MM 의 1-형식 p∈Tq∗Mp \in T_q^*M 을 그 점에서의 T∗MT^*M 의 1-형식 으로 당겨 올린 자연스러운 양.

심플렉틱 2-형식 ω\omega on T∗MT^*M:

ω:=−dθ=dqα∧dpα=−dpα∧dqα\omega := -d\theta = dq^\alpha \wedge dp_\alpha = -dp_\alpha \wedge dq^\alpha

(부호는 본 책의 규약. 다른 책은 부호가 반대일 수도 있음.) ω\omega 의 성질:

  • 닫혀 있음: dω=−d2θ=0d\omega = -d^2 \theta = 0.
  • 비퇴화: 모든 점에서 ω\omega 가 비-degenerate (2-형식으로서 짝지어 비-zero).

이 두 성질이 심플렉틱 구조 의 정의 (§4.2.1).

한 번 더, 천천히

(1) θ\theta 의 좌표 자유 정의. T∗MT^*M 의 한 점 (q,ωq)(q, \omega_q) (ωq∈Tq∗M\omega_q \in T_q^*M) 에 대해 사영 π:T∗M→M\pi : T^*M \to M. θ\theta 의 접벡터 XX 에 대한 작용 은

θ(X):=ωq(π∗ X)\theta(X) := \omega_q(\pi_*\, X)

— 위상공간 접벡터 XX 를 기저로 사영한 결과 에 T∗MT^*M 점의 코벡터 를 작용. 어떤 좌표를 잡든 같은 정의. 좌표 표현 θ=pαdqα\theta = p_\alpha dq^\alpha 가 이 추상적 정의의 국소 표현.

(2) “정준” 의 의미. Canonical — 공인된, 표준의. T∗MT^*M 의 모든 추가 구조 (예: 미터, 접속) 와 독립 으로 정의됨. 번들 구조 자체에서 자연스럽게 떨어지는 객체. 정준 1-형식 이 그 대표.

(3) §2.3.1 의 기본 1-형식 θL\theta_L 과의 관계. 라그랑주의 기본 1-형식 θL=(∂L/∂q˙α)dqα=pαdqα\theta_L = (\partial L/\partial \dot q^\alpha) dq^\alpha = p_\alpha dq^\alpha on TMTM. 르장드르 변환 TM→T∗MTM \to T^*M 으로 옮기면 정확히 θ\theta. 두 형식이 같은 객체의 다른 표현.

(4) 위상공간의 방향성. ω\omega 의 nn 제곱 ωn=ω∧⋯∧ω\omega^n = \omega \wedge \cdots \wedge \omega (nn 번) 이 체적 형식 — Liouville 측도. T∗MT^*M 이 자동으로 방향성 있는 다양체. §4.4.4 의 리우빌 정리의 출발점.

(5) 양자역학으로의 다리. 정준 양자화에서 심플렉틱 형식 ω\omega 가 교환 관계 [q,p]=iℏ[q, p] = i\hbar 로 옮겨진다. Weyl 양자화 가 이 옮김의 표준 형식. 양자역학의 기본 대수 가 심플렉틱 기하학의 양자판.

파이썬으로 확인 — 단진자의 상포트레이트

이 코드의 메시지는 단순하다: 단진자의 운동을 위상공간 (q,p)(q, p) 에서 시각화. 에너지 보존 곡선 이 폐곡선 (작은 진폭) 또는 회전 (큰 진폭, separatrix 너머) 으로 나타난다.

# 단진자 위상공간 도식
# H = p²/(2 m ℓ²) - m g ℓ cos θ
# 다양한 초기 에너지에서 궤적을 그리면 상포트레이트
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

m, ell, g = 1.0, 1.0, 9.81

def hamilton(t, y):
    theta, p = y
    return [p / (m * ell**2), -m * g * ell * np.sin(theta)]

# 여러 초기 에너지에서 적분
initial_conditions = [
    (np.pi/6, 0.0, "작은 진동"),
    (np.pi/3, 0.0, "중간 진동"),
    (np.pi*0.9, 0.0, "큰 진동"),
    (0.0, 6.0, "회전 (separatrix 너머)"),
]

# 에너지 값 계산 (위상공간 H 보존 등고선)
for theta0, p0, name in initial_conditions:
    H0 = p0**2 / (2 * m * ell**2) - m * g * ell * np.cos(theta0)
    # 적분 (충분히 긴 시간 — 폐곡선 추적)
    sol = solve_ivp(hamilton, (0, 4.0), [theta0, p0],
                    rtol=1e-10, atol=1e-12, dense_output=True)
    ts = np.linspace(0, 4, 1000)
    theta_t, p_t = sol.sol(ts)
    # 에너지 보존 검증
    H_t = p_t**2 / (2 * m * ell**2) - m * g * ell * np.cos(theta_t)
    print(f"{name:<30}  E={H0:+.4f},  ΔH={np.ptp(H_t):.2e},  θ 범위 [{theta_t.min():+.2f}, {theta_t.max():+.2f}]")

# Separatrix 의 에너지: E_sep = m g ℓ (수직 위)
E_sep = m * g * ell
print(f"\nSeparatrix 에너지 E_sep = m g ℓ = {E_sep:.4f}")
print("→ E < E_sep: 진동 (폐곡선), E > E_sep: 회전 (열린 곡선)")

이 결과는 위상공간이 운동을 시각화하는 자연스러운 무대 임을 보인다. 단진자의 상포트레이트 (작은 진동 → 큰 진동 → separatrix → 회전) 가 에너지 등고선 으로 자동 분류된다.

다음 절(4.1.4)로 가는 다리

상공간은 심플렉틱 구조 ω\omega 를 기본 구조로 가진다. 그러나 추가 로 리만 계량 을 박을 수도 있다 — 상공간 위에서 거리 를 정의하는 일. 4.1.4 가 이 부가 구조 의 의미를 짚는다.