5.2.1 — 상공간 위의 워이스 원리: 끝점 자유 변분의 위상공간 형식

§3.2.1 의 워이스 원리를 상공간 위로 들어올린 형식. δS=[pαδqα−Hδt]t1t2\delta S = [p_\alpha \delta q^\alpha - H \delta t]_{t_1}^{t_2} 가 운동량·에너지의 경계 정보 를 그대로 박는다.

본문이 말하는 것

§3.2.1 의 워이스 원리 — 끝점이 움직이는 변분 — 를 상공간 위의 작용 S=∫(pq˙−H)dtS = \int (p \dot q - H) dt (§5.1.1) 에 적용.

실제 운동 의 경로에서 δS\delta S 의 내부 항이 0 (정준 방정식 만족). 경계 항만 남는다:

δS=[pα δqα−H δt]t1t2\delta S = \left[p_\alpha\, \delta q^\alpha - H\, \delta t\right]_{t_1}^{t_2}

— 정확히 §3.2.1 의 결과. 무대만 위상공간 + 변분 변수가 (q,p)(q, p) 둘 다 자유.

δp\delta p 의 경계 항이 없는 이유. §5.1.3 의 변분 계산에서 pp 변분의 경계 항 이 처음부터 나타나지 않는다. 변분 식에서 δp\delta p 가 시간 미분 없이 등장 — 부분적분 불필요. 그래서 qq 의 끝점만 변분 + 그 경계 항이 핵심.

모멘트 함수 (§3.2.2) 의 위상공간 정체. 작용 S(q2,t2;q1,t1)S(q_2, t_2; q_1, t_1) — 끝점의 함수 — 의 편미분:

∂S∂q2α=pα(t2),∂S∂t2=−H(q2,p2,t2)\frac{\partial S}{\partial q_2^\alpha} = p_\alpha(t_2),\quad \frac{\partial S}{\partial t_2} = -H(q_2, p_2, t_2)

— 상공간의 운동량과 에너지가 작용의 끝점 미분으로 떨어짐. 해밀턴-야코비식 의 출발점.

한 번 더, 천천히

(1) §3.2 와 §5.2 의 대응.

§3.2 (배위공간)§5.2 (상공간)
워이스 원리 (3.2.1)상공간 워이스 원리 (5.2.1)
모멘트 함수 (3.2.2)적분 불변식 (5.2.2)
노에터 확장 (3.2.3)카르탕의 원리 (5.2.3)

상공간 형식이 위상공간의 1-형식 어휘 로 더 자연스럽게 표현. 특히 심플렉틱 구조 가 자동으로 등장.

(2) Hamilton-Jacobi 식의 자연스러운 등장. S(q,t)S(q, t) 의 미분 관계 p=∂S/∂qp = \partial S/\partial q, −H=∂S/∂t-H = \partial S/\partial t 가 합쳐지면

∂S∂t+H ⁣(q,∂S∂q,t)=0\frac{\partial S}{\partial t} + H\!\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}, t\right) = 0

— 해밀턴-야코비 (HJ) 식. 모멘트 함수 가 만족하는 1차 편미분 방정식. 해석역학 II 의 핵심 주제.

(3) 운동의 위상공간 곡선 관점. 워이스 원리가 위상공간 곡선의 끝점이 변할 때 작용이 어떻게 변하나 를 박는다. 정준 변환 (§5.3) 의 본질이 작용의 변화를 보존하는 변환 — 곧 심플렉틱 사상. 두 어휘의 자연 연결.

(4) 적분 불변식 (§5.2.2) 의 씨앗. 워이스 원리에서 작용의 경계 항 은 위상공간 위 곡선의 1-형식 적분. 이 적분이 흐름 + 정준 변환 에 대해 불변 이라는 것이 적분 불변식 — 정준 변환의 핵심 도구.

(5) 카르탕의 원리 (§5.2.3) 와의 다리. 본 절의 끝점이 자유 인 변분이 카르탕 형식 — *상공간의 연속 변환 가족 (1-매개변수 곡선) 에서 작용이 불변. 그 변환의 생성자 가 해밀토니언 벡터장. 노에터 정리의 강한 형식.

다음 절(5.2.2)로 가는 다리

워이스 원리에서 작용의 경계 항이 위상공간의 1-형식 의 곡선 적분이라는 점. 그 곡선 적분이 흐름에 의해 보존 됨이 적분 불변식 (integral invariant) — 정준 변환과 심플렉틱 사상의 대수적 기둥. §5.2.2 가 그 정의와 형식.