5.1.4 — 좌표 무관 표현: 심플렉틱 다양체 위의 변분 원리

정준 방정식을 심플렉틱 다양체 위의 미분형식 으로 표현. $\iota_{X_H} \omega = dH$ 가 변분 원리 $\delta S = 0$ 의 좌표 자유 등가물. §4.2.2 의 회수 + 변분 원리 시점의 통합.

본문이 말하는 것

§5.1.3 의 정준 방정식 도출은 Darboux 좌표 $(q, p)$ 표현. 본 절은 그 변분 원리를 심플렉틱 다양체 $(P, \omega)$ (§4.2.1) 위에서 좌표 자유 로 표현.

해밀턴 1-형식. 확장 상공간 $P \times \mathbb R_t$ 위 정준 1-형식 (§4.1.5)

$$\theta_H^{\text{ext}} = \theta - H\, dt$$

여기서 $\theta$ 가 $P$ 위의 정준 1-형식 (Darboux 에서 $\theta = p_\alpha dq^\alpha$).

좌표 자유 작용. 곡선 $\gamma : [t_1, t_2] \to P \times \mathbb R_t$ 위의 작용

$$S[\gamma] = \int_\gamma \theta_H^{\text{ext}}$$

— 1-형식의 곡선 적분. 좌표 자유.

좌표 자유 변분 원리. $\delta S = 0$ (끝점 고정) ↔ 곡선 $\gamma$ 의 접벡터 $X = \dot \gamma$ 가 다음을 만족:

$$\iota_X\, (-d\theta_H^{\text{ext}}) = 0$$

여기서 $-d\theta_H^{\text{ext}} = \omega - dH \wedge dt$ — 확장 심플렉틱 2-형식.

확장 무대에서 시간 방향 의 contraction 을 정리하면 공간 부분 에서 $\iota_{X_H} \omega = dH$ (§4.2.2) — 정준 방정식의 좌표 자유 표현.

한 번 더, 천천히

도해 설명 — *좌표 자유 형식의 위력.

(a) 좌표 자유의 실용적 의미. Darboux 좌표 (§4.2.1) 가 항상 국소적으로 존재 하지만, 전역 단일 좌표가 없을 수도 있다. 콤팩트 심플렉틱 다양체 (예: $S^2$ 위 면적 형식) 가 전역 Darboux 좌표를 가지지 않는다. 좌표 자유 형식은 그래도 운동방정식을 정의.

(b) §4.2.2 와 §5.1.4 의 동일성. §4.2.2 가 해밀토니언 벡터장 $X_H$ 를 $\iota_{X_H} \omega = dH$ 로 직접 정의. §5.1.4 는 같은 식 을 변분 원리 에서 도출. 두 시점이 동치.

(c) 변분 원리의 기하학적 정체. $\delta S = 0$ 의 가장 깊은 기하학적 의미: 경로의 접벡터가 $\theta_H^{\text{ext}}$ 의 외미분의 영공간 (null space) 에 머무는 경로. 심플렉틱 형식의 비퇴화 가 그 영공간이 1차원 — 유일한 흐름 방향.

(d) §1.6.5 의 외미분 회수. 본 절의 $-d\theta_H^{\text{ext}} = \omega - dH \wedge dt$ 가 외미분의 적용 직접. §1.6.5 의 어휘가 5 章 의 마지막에 다시 등장. 책 전체를 관통하는 미분형식 어휘의 일관성.

(e) 일반 상대성 이론에서의 추상화. GR 의 시공간 위 자유낙하 입자 의 변분 원리도 같은 형식 — 시공간의 1-형식 $\theta = -mc^2 d\tau$ (고유시간의 미분) 의 곡선 적분이 정류. 본 절의 학부 비상대론판이 그 학부 표본.

(f) 양자장 이론에서의 경로 적분. Feynman 경로 적분의 고전 한계 가 본 절의 변분 원리. 작용 $S$ 의 정류점 이 건설적 간섭 으로 도드라지는 고전 경로. 좌표 자유 형식이 경로 적분의 자연스러운 형식.

다음 절(5.2.1)로 가는 다리

본 절의 변분 원리는 끝점 고정 — 해밀턴의 형식. 끝점이 움직이는 워이스 형식 으로의 일반화가 §5.2.1. 그리고 그로부터 적분 불변식 (integral invariant) — 정준 변환의 대수적 핵심 도구 — 가 자연스럽게 등장한다. §5.2 전체가 이 새 도구의 체계적 정리.