5.1.3 — 상공간 위의 해밀턴 원리: 정준 방정식의 직접 도출

상공간 위의 작용 S=∫(pq˙−H)dtS = \int (p \dot q - H) dt 의 변분 δS=0\delta S = 0 에 대한 정밀한 계산. δq\delta q 와 δp\delta p 의 독립적 변분이 각각 정준 식 하나씩을 만든다.

본문이 말하는 것

§5.1.1 의 상공간 작용

S[q(⋅),p(⋅)]=∫t1t2[pαq˙α−H(q,p,t)]dtS[q(\cdot), p(\cdot)] = \int_{t_1}^{t_2} \left[p_\alpha \dot q^\alpha - H(q, p, t)\right] dt

의 변분을 직접 계산. qq 와 pp 가 독립적 으로 변분 — δqα(t)\delta q^\alpha(t), δpα(t)\delta p_\alpha(t) (끝점 고정).

δS=∫t1t2[δpα q˙α+pα δq˙α−∂H∂qαδqα−∂H∂pαδpα]dt\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left[\delta p_\alpha\, \dot q^\alpha + p_\alpha\, \delta \dot q^\alpha - \frac{\partial H}{\partial q^\alpha} \delta q^\alpha - \frac{\partial H}{\partial p_\alpha} \delta p_\alpha\right] dt

δq˙α=d(δqα)/dt\delta \dot q^\alpha = d(\delta q^\alpha)/dt 에 부분 적분:

∫pα dδqαdt dt=[pαδqα]t1t2−∫p˙α δqα dt\int p_\alpha\, \frac{d \delta q^\alpha}{dt}\, dt = [p_\alpha \delta q^\alpha]_{t_1}^{t_2} - \int \dot p_\alpha\, \delta q^\alpha\, dt

끝점 고정 → 경계 항 0. 정리하면

δS=∫t1t2[(q˙α−∂H∂pα)δpα−(p˙α+∂H∂qα)δqα]dt\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left[\left(\dot q^\alpha - \frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\right) \delta p_\alpha - \left(\dot p_\alpha + \frac{\partial H}{\partial q^\alpha}\right) \delta q^\alpha\right] dt

δq\delta q, δp\delta p 가 임의 + 독립 → 두 괄호가 각각 0:

q˙α=∂H∂pα,p˙α=−∂H∂qα\boxed{\quad \dot q^\alpha = \frac{\partial H}{\partial p_\alpha},\quad \dot p_\alpha = -\frac{\partial H}{\partial q^\alpha} \quad}

— 정준 방정식. 변분 원리의 직접 결과.

한 번 더, 천천히

도해 설명 — qq 와 pp 의 독립성 이 본 변분 원리의 핵심 인 이유.

(a) §3.1 변분과의 차이. §3.1 에서 δq\delta q 만 변분, δq˙=d(δq)/dt\delta \dot q = d(\delta q)/dt 자동. 즉 변분의 자유도가 nn. 본 절에서 δq\delta q, δp\delta p 둘 다 독립적 변분 — 변분의 자유도가 2n2n. 그래서 2n2n 개의 식 이 떨어진다.

(b) 변분 자유도와 식의 수. nn 자유도의 라그랑주식이 nn 개의 2차 ODE — 총 2n2n 정보 단위 (초기 위치 + 초기 속도). 같은 정보가 2n2n 개의 1차 ODE — 정준식 — 으로도 표현 가능. 본 절이 두 형식의 변분 원리 시점 등가성.

(c) δq\delta q, δp\delta p 의 독립성 의 기하학적 의미. δq\delta q 는 기저 다양체 MM 의 변분, δp\delta p 는 여접번들 T∗MT^*M 의 섬유 (수직 방향) 변분. 두 변분이 직교 보충 — 위상공간의 완전한 변분 자유. 라그랑주 형식에서는 δq˙\delta \dot q 가 δq\delta q 의 종속 이라 수직 방향이 자동 결정.

(d) 경계 항의 미묘함. qq 의 끝점 고정 (δq(t1)=δq(t2)=0\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0) 이 자연. 그러나 pp 의 끝점은 고정 필요 없음 — 위 변분 계산에서 pp 에 대한 경계 항이 처음부터 없다. 이게 해밀턴 원리의 비대칭성 — *qq 가 위치, pp 가 상태 라는 물리적 차이 의 반영.

(e) §3 의 변분 원리와의 동치 증명. 본 절의 정준 방정식 + §4.1.2 의 르장드르 가역성으로 §3 의 EL 식이 다시 떨어진다. 즉 세 형식의 변분 원리 — §3 의 L 형식, 본 절의 H 형식, §3.1.4 의 1-형식 형식 — 가 완전히 동치.

(f) 카르탕 형식의 예고. §5.2.3 의 카르탕 원리 가 본 절의 변분 원리를 미분형식 어휘 로 정리한 기하학적 형식. δS=0⇔ω=−dθLext\delta S = 0 \Leftrightarrow \omega = -d\theta_L^{\text{ext}} 가 실제 운동 곡선의 접벡터 의 contraction = 0. 좌표 자유 형식.

다음 절(5.1.4)로 가는 다리

본 절까지의 변분 원리는 Darboux 좌표 (q,p)(q, p) 에 의존 한 표현. 좌표 자유 형식 — 심플렉틱 다양체 위의 변분 원리 — 가 §5.1.4 의 주제. 카르탕의 운동방정식 ιXω=dH\iota_X \omega = dH (§4.2.2 회수) 의 변분 원리 시점 표현.