1.5.3 — 공변텐서: 여러 벡터를 한꺼번에 받아 수 로 옮기는 함수

(0,q)(0, q)-텐서는 qq 개의 벡터를 받아 실수 를 돌려주는 qq-선형 함수. 미터·면적·체적 같은 양들이 모두 공변 텐서의 옷을 입고 있다. 텐서곱 ⊗\otimes 가 등장하는 자리.

본문이 말하는 것

(0,q)(0, q)-텐서 (또는 공변 qq-텐서) TT 는 VV 의 qq 개 복사본의 곱 을 정의역으로 하는 qq-선형 함수:

T:V×⋯×V⏟q 개→RT : \underbrace{V \times \cdots \times V}_{q\, \text{개}} \to \mathbb R

각 슬롯에 선형 — 즉 T(…,av+bw,… )=aT(…,v,… )+bT(…,w,… )T(\dots, a\mathbf{v} + b\mathbf{w}, \dots) = a T(\dots, \mathbf{v}, \dots) + b T(\dots, \mathbf{w}, \dots).

좌표 기저 {∂i}\{\partial_i\} 의 성분 표현은

Ti1…iq:=T(∂i1,…,∂iq)T_{i_1 \dots i_q} := T(\partial_{i_1}, \dots, \partial_{i_q})

이게 공변 인덱스 qq 개. 텐서 자체는

T=Ti1…iq dxi1⊗⋯⊗dxiqT = T_{i_1 \dots i_q}\, dx^{i_1} \otimes \cdots \otimes dx^{i_q}

— 여기서 ⊗\otimes 가 텐서곱 (tensor product).

좌표 변환 시 각 인덱스가 공변 (1.5.1) 으로 변환:

Ti1′…iq′=∂xj1∂xi1′⋯∂xjq∂xiq′ Tj1…jqT_{i'_1 \dots i'_q} = \frac{\partial x^{j_1}}{\partial x^{i'_1}} \cdots \frac{\partial x^{j_q}}{\partial x^{i'_q}}\, T_{j_1 \dots j_q}

예시. q=0q = 0: 스칼라 (= 함수). q=1q = 1: 코벡터. q=2q = 2: 미터 gijg_{ij}, 면적 형식 ωij=−ωji\omega_{ij} = -\omega_{ji}, 응력 텐서.

한 번 더, 천천히

도해를 그려 두면 — 텐서곱의 기능적 그림이 도움이 된다.

(a) α⊗β\alpha \otimes \beta 란? 두 코벡터 α,β∈V∗\alpha, \beta \in V^* 의 텐서곱은 (0,2)(0, 2)-텐서

(α⊗β)(v,w):=α(v) β(w)(\alpha \otimes \beta)(\mathbf{v}, \mathbf{w}) := \alpha(\mathbf{v})\, \beta(\mathbf{w})

— 첫 슬롯에 α\alpha, 둘째 슬롯에 β\beta 를 평가. 일반 텐서는 이런 ⊗\otimes 형식의 선형결합. 차원 dim⁡(V∗⊗V∗)=n2\dim (V^* \otimes V^*) = n^2 — 모든 가능한 dxi⊗dxjdx^i \otimes dx^j 의 선형결합.

(b) 미터가 (0, 2)-텐서인 이유. 미터 gg 는 두 벡터를 받아 내적이라는 수 를 돌려준다 — g(v,w)=⟨v,w⟩g(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = \langle \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle. 각 슬롯에 선형 → 정의대로 (0, 2)-텐서. 추가 대칭 성질 (g(v,w)=g(w,v)g(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = g(\mathbf{w}, \mathbf{v})) 이 내적의 조건.

(c) 면적과 비대칭. R2\mathbb R^2 위의 면적 A(v,w)=v1w2−v2w1A(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = v_1 w_2 - v_2 w_1 은 (0, 2)-텐서, 단 비대칭 — A(v,w)=−A(w,v)A(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = -A(\mathbf{w}, \mathbf{v}). 이 비대칭이 1.5.4 의 교대 텐서 와 미분형식의 출발점.

(d) 텐서곱의 결합법칙. (α⊗β)⊗γ=α⊗(β⊗γ)(\alpha \otimes \beta) \otimes \gamma = \alpha \otimes (\beta \otimes \gamma) — 양 표현이 같은 (0, 3)-텐서. 즉 V∗⊗V∗⊗V∗V^* \otimes V^* \otimes V^* 가 단순히 결합적으로 정의된다.

(e) 비가환성. 일반적으로 α⊗β≠β⊗α\alpha \otimes \beta \neq \beta \otimes \alpha. 슬롯 순서가 의미가 있다. 이 비가환성을 상쇄 하려면 1.5.5 의 교대화 + 외적 으로 가야 한다.

다음 절(1.5.4)로 가는 다리

공변 텐서 일반이 박혔으니, 이제 물리적으로 자주 등장하는 부분류 — 교대 텐서 (또는 미분형식) — 를 따로 다룬다. 면적·체적·자속·전류밀도 같은 양은 모두 방향이 있는 양 — 두 벡터 (또는 pp 개 벡터) 의 순서를 바꿀 때 부호가 뒤집힌다. 1.5.4 가 이 교대 라는 추가 구조를 박는다.