1.5.4 — 교대텐서와 벡터: 부호가 뒤집히는 텐서

벡터 순서가 바뀌면 부호가 뒤집히는 공변 텐서가 교대 텐서. 차원이 (np)\binom{n}{p} — 즉 ΛpV∗\Lambda^p V^* 가 작은 부분공간. 미분형식·외적·체적의 출발점.

본문이 말하는 것

(0,p)(0, p)-텐서 ω\omega 가 교대 (alternating) 이라는 것은: 두 슬롯의 임의의 교환 에 대해 부호가 뒤집힘:

ω(v1,…,vi,…,vj,…,vp)=−ω(v1,…,vj,…,vi,…,vp)\omega(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_i, \dots, \mathbf{v}_j, \dots, \mathbf{v}_p) = -\omega(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_j, \dots, \mathbf{v}_i, \dots, \mathbf{v}_p)

일반적인 순열 σ∈Sp\sigma \in S_p 에 대해:

ω(vσ(1),…,vσ(p))=sgn(σ) ω(v1,…,vp)\omega(\mathbf{v}_{\sigma(1)}, \dots, \mathbf{v}_{\sigma(p)}) = \text{sgn}(\sigma)\, \omega(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_p)

교대 (0,p)(0, p)-텐서의 공간을 ΛpV∗\Lambda^p V^* (V∗V^* 의 pp-차 외대수) 라 적는다. 그 원소가 pp-형식 (또는 1.6 의 외미분형식).

중요 성질. p>n=dim⁡Vp > n = \dim V 이면 ΛpV∗=0\Lambda^p V^* = 0 (반복된 벡터로 항상 0 이 나옴). 즉 nn-차원 공간에서 가능한 pp-형식은 p=0,1,…,np = 0, 1, \dots, n 만.

차원

dim⁡ΛpV∗=(np)\dim \Lambda^p V^* = \binom{n}{p}

— 일반 V∗⊗pV^{*\otimes p} 의 차원 npn^p 보다 훨씬 작다. 예: n=3n = 3, p=2p = 2 라면 dim⁡=3\dim = 3 (대신 V∗⊗2V^{*\otimes 2} 는 9). 차원의 감소가 교대 조건 의 강한 제약을 반영.

기저. V∗V^* 의 기저 {e1,…,en}\{e^1, \dots, e^n\} 에서 ΛpV∗\Lambda^p V^* 의 기저는 pp-선택의 사전 순서

{ei1∧ei2∧⋯∧eip:1≤i1<i2<⋯<ip≤n}\{e^{i_1} \wedge e^{i_2} \wedge \cdots \wedge e^{i_p} : 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_p \le n\}

여기서 ∧\wedge 는 다음 1.5.5 의 외적 (wedge product). (np)\binom{n}{p} 개.

한 번 더, 천천히

(1) 면적의 부호. R2\mathbb R^2 의 면적 형식 ω=dx∧dy\omega = dx \wedge dy 가 두 벡터 u=(u1,u2)\mathbf{u} = (u_1, u_2), v=(v1,v2)\mathbf{v} = (v_1, v_2) 에 작용하면 u1v2−u2v1u_1 v_2 - u_2 v_1 — 부호 있는 면적 (방향에 의존). u\mathbf{u} 와 v\mathbf{v} 의 순서를 바꾸면 부호가 뒤집힌다.

(2) 체적 — 3차원의 경우. R3\mathbb R^3 의 체적 형식 ω=dx∧dy∧dz\omega = dx \wedge dy \wedge dz 가 세 벡터에 작용하면 행렬식 — 즉 det⁡[u,v,w]\det[\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}]. 평행육면체의 부호 있는 체적.

(3) 자속·전류밀도의 교대 본성. Maxwell 방정식의 자속 B\mathbf{B} 는 사실 R3\mathbb R^3 위의 2-형식, 전류밀도 j\mathbf{j} 는 2-형식. 외적·외미분 어휘로 적으면 Maxwell 식이 4 개의 미분형식 식 2 개 로 압축된다 (1.6 의 주제).

(4) n=pn = p 일 때. dim⁡ΛnV∗=1\dim \Lambda^n V^* = 1 — 1차원. 체적 형식의 공간. 임의 두 체적 형식은 스칼라 배수 차이. 미터 gg 가 주어지면 자연 정규화로 유일 한 체적 형식 (음이 아닌 방향) 이 결정된다.

(5) 교대화 작용소. 일반 텐서 T∈V∗⊗pT \in V^{*\otimes p} 의 교대화 는

Alt(T)(v1,…,vp):=1p!∑σ∈Spsgn(σ) T(vσ(1),…,vσ(p))\text{Alt}(T)(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_p) := \frac{1}{p!} \sum_{\sigma \in S_p} \text{sgn}(\sigma)\, T(\mathbf{v}_{\sigma(1)}, \dots, \mathbf{v}_{\sigma(p)})

— 모든 순열을 가중치 ±1\pm 1 로 평균. 결과는 항상 교대. 1.5.5 의 외적이 이 교대화로 정의된다.

파이썬으로 확인 — R3\mathbb R^3 의 면적·체적

이 코드의 메시지는 단순하다: 면적 dx∧dydx \wedge dy 와 체적 dx∧dy∧dzdx \wedge dy \wedge dz 가 벡터 순서 교환에 부호 반전 을 정확히 따르는지 수치로 확인.

# Λ^p V* in R^3:
# Λ^1: 3-dim, basis dx, dy, dz
# Λ^2: 3-dim, basis dx∧dy, dy∧dz, dz∧dx
# Λ^3: 1-dim, basis dx∧dy∧dz
import numpy as np

# 2-form: ω(u, v) = u_x v_y - u_y v_x
def omega_xy(u, v):
    return u[0] * v[1] - u[1] * v[0]

u = np.array([2.0, 1.0, 0.5])
v = np.array([1.0, 3.0, -1.0])

# 부호 반전 검증
print(f"ω(u, v) = {omega_xy(u, v)}")
print(f"ω(v, u) = {omega_xy(v, u)}")
print(f"부호 반전: ω(u, v) + ω(v, u) = {omega_xy(u, v) + omega_xy(v, u):.2e}  (= 0 기대)")

# 3-form: 행렬식
def vol(u, v, w):
    M = np.array([u, v, w]).T  # 열벡터로
    return np.linalg.det(M)

w = np.array([0.5, -1.0, 2.0])
print(f"\nvol(u, v, w) = {vol(u, v, w):.4f}")
print(f"vol(v, u, w) = {vol(v, u, w):.4f}  (= -vol(u, v, w) 기대)")
print(f"vol(u, u, w) = {vol(u, u, w):.2e}  (= 0 기대 — 반복된 벡터)")

이 결과는 교대 텐서의 두 핵심 성질 — (a) 임의 두 슬롯 교환 시 부호 반전, (b) 반복된 벡터에서 0 — 을 수치로 확인한다.

다음 절(1.5.5)로 가는 다리

교대 텐서가 정의됐지만, 두 교대 텐서를 결합해 새 교대 텐서를 만드는 연산 이 아직 박히지 않았다. 1.5.5 의 외적 ∧\wedge 가 그 연산 — 텐서곱에 교대화를 합성한 것. 그 위에 1.6 의 외미분·푸앵카레 보조정리·스토크스 정리가 차례로 박힌다.