1.5.5 — 텐서의 교대화와 외적: ∧\wedge 의 정의

교대화 Alt 와 텐서곱 ⊗\otimes 를 조합해 외적 ∧\wedge 를 정의한다. dxi∧dxj=−dxj∧dxidx^i \wedge dx^j = -dx^j \wedge dx^i, dxi∧dxi=0dx^i \wedge dx^i = 0 같은 핵심 등식이 모두 정의에서 따라 나온다.

본문이 말하는 것

α∈ΛpV∗\alpha \in \Lambda^p V^*, β∈ΛqV∗\beta \in \Lambda^q V^* 의 외적 (wedge product, exterior product) 은

α∧β:=(p+q)!p! q! Alt(α⊗β)∈Λp+qV∗\alpha \wedge \beta := \frac{(p + q)!}{p!\, q!}\, \text{Alt}(\alpha \otimes \beta) \in \Lambda^{p+q} V^*

여기서 Alt 는 1.5.4 의 교대화 작용소. 정의에 등장한 계수 (p+q)!/(p!q!)(p+q)!/(p! q!) 는 표준 규약 (다른 책은 다른 계수를 쓰기도 — 본 책은 이 규약).

기본 등식.

α∧β=(−1)pq β∧α\alpha \wedge \beta = (-1)^{pq}\, \beta \wedge \alpha

(반가환 — pp, qq 의 곱 의 부호.) 특히 α∈Λ1\alpha \in \Lambda^1 라면 α∧α=0\alpha \wedge \alpha = 0.

결합 법칙.

(α∧β)∧γ=α∧(β∧γ)(\alpha \wedge \beta) \wedge \gamma = \alpha \wedge (\beta \wedge \gamma)

좌표 표현. V∗V^* 의 기저 {dx1,…,dxn}\{dx^1, \dots, dx^n\} 에서

dxi∧dxj(∂k,∂l)=δkiδlj−δliδkjdx^i \wedge dx^j (\partial_k, \partial_l) = \delta^i_k \delta^j_l - \delta^i_l \delta^j_k

(2 × 2 행렬식). 마찬가지로 dxi1∧⋯∧dxipdx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_p} 가 p×pp \times p 행렬식 형식으로 작용. 임의 pp-형식

ω=∑i1<⋯<ipωi1…ip dxi1∧⋯∧dxip\omega = \sum_{i_1 < \cdots < i_p} \omega_{i_1 \dots i_p}\, dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_p}

— 사전 순서 인덱스로 인해 중복 없는 표현.

한 번 더, 천천히

(1) dxi∧dxjdx^i \wedge dx^j 의 행렬식 성격. 정의 dxi∧dxj(u,v)=uivj−ujvi=det⁡(uiujvivj)dx^i \wedge dx^j (\mathbf{u}, \mathbf{v}) = u^i v^j - u^j v^i = \det \begin{pmatrix} u^i & u^j \\ v^i & v^j \end{pmatrix}. 두 벡터의 ii-jj 평면에의 사영 의 부호 있는 면적. 외적이 부호 있는 부피의 일반화 라는 정체가 여기서 명확.

(2) ∧\wedge 의 반가환성에서 α∧α=0\alpha \wedge \alpha = 0 이 따라 나옴. α∈Λp\alpha \in \Lambda^p 가 홀수 차수면 α∧α=−α∧α\alpha \wedge \alpha = -\alpha \wedge \alpha → α∧α=0\alpha \wedge \alpha = 0. 짝수 차수면 α∧α\alpha \wedge \alpha 가 0 일 수도 아닐 수도 있다 (예: R4\mathbb R^4 의 ω=dx1∧dx2+dx3∧dx4\omega = dx^1 \wedge dx^2 + dx^3 \wedge dx^4 는 ω∧ω=2dx1∧dx2∧dx3∧dx4≠0\omega \wedge \omega = 2 dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3 \wedge dx^4 \neq 0).

(3) Vector calculus 와의 연결. R3\mathbb R^3 에서 두 1-형식의 외적이 벡터 외적 과 대응. α=a1dx+a2dy+a3dz\alpha = a_1 dx + a_2 dy + a_3 dz, β=b1dx+b2dy+b3dz\beta = b_1 dx + b_2 dy + b_3 dz 에 대해

α∧β=(a2b3−a3b2) dy∧dz+(a3b1−a1b3) dz∧dx+(a1b2−a2b1) dx∧dy\alpha \wedge \beta = (a_2 b_3 - a_3 b_2)\, dy \wedge dz + (a_3 b_1 - a_1 b_3)\, dz \wedge dx + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\, dx \wedge dy

— 정확히 a×b\mathbf{a} \times \mathbf{b} 의 성분. 외적이 3차원 한정 인 이유는 Λ2R3∗≅R3\Lambda^2 \mathbb R^{3*} \cong \mathbb R^3 이라는 우연. 4차원 이상에서는 외적 대신 2-형식 자체를 사용해야 한다.

(4) 외대수의 계산. pp-형식 + qq-형식 = (p,q)(p, q) 정보. 외적의 결과는 (p+q)(p+q)-형식. nn-차원 공간에서 Λ∗V∗=⨁pΛpV∗\Lambda^* V^* = \bigoplus_p \Lambda^p V^* 가 외대수 (exterior algebra) — 총 차원 2n2^n. R4\mathbb R^4 라면 1+4+6+4+1=16=241 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4.

파이썬으로 확인 — R4\mathbb R^4 위 외적 계산

이 코드의 메시지는 단순하다: R4\mathbb R^4 의 두 1-형식 α,β\alpha, \beta 의 외적 α∧β\alpha \wedge \beta 가 2-형식 (6차원, (42)=6\binom{4}{2} = 6) 임을 행렬식 형식 으로 직접 계산. 그 위에 (α∧β)(u,v)=−(α∧β)(v,u)(\alpha \wedge \beta)(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = -(\alpha \wedge \beta)(\mathbf{v}, \mathbf{u}) 와 α∧α=0\alpha \wedge \alpha = 0 을 수치로 본다.

# R^4 위 1-형식 α, β. α ∧ β 의 6 성분 (i<j) 을 계산.
import numpy as np

# α = (1, 2, -1, 0.5) → α(v) = 1*v1 + 2*v2 - 1*v3 + 0.5*v4
alpha = np.array([1.0, 2.0, -1.0, 0.5])
beta = np.array([0.5, -1.0, 2.0, 1.0])

# α ∧ β 의 성분: (α ∧ β)_ij = α_i β_j - α_j β_i for i < j
# 6 인덱스 쌍: (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)
pairs = [(0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3)]
labels = ['dx1∧dx2', 'dx1∧dx3', 'dx1∧dx4', 'dx2∧dx3', 'dx2∧dx4', 'dx3∧dx4']
ab_components = []
for (i, j), name in zip(pairs, labels):
    c = alpha[i] * beta[j] - alpha[j] * beta[i]
    ab_components.append(c)
    print(f"(α ∧ β)_{name} = {c:.4f}")

# α ∧ α = 0 검증 (자기 자신과의 외적)
aa = [alpha[i] * alpha[j] - alpha[j] * alpha[i] for (i, j) in pairs]
print(f"\nα ∧ α 의 모든 성분: {aa}  (= 0 기대)")

# (α ∧ β)(u, v) 와 (α ∧ β)(v, u) 의 부호 검증
u = np.array([1.0, 0.5, -0.5, 1.0])
v = np.array([-0.5, 1.0, 1.0, 0.0])

def wedge_eval(alpha, beta, u, v):
    return (alpha @ u) * (beta @ v) - (alpha @ v) * (beta @ u)

ab_uv = wedge_eval(alpha, beta, u, v)
ab_vu = wedge_eval(alpha, beta, v, u)
print(f"\n(α∧β)(u, v) = {ab_uv:.4f}")
print(f"(α∧β)(v, u) = {ab_vu:.4f}  (= -(α∧β)(u, v) 기대)")
print(f"합 = {ab_uv + ab_vu:.2e}  (= 0 기대)")

이 결과는 외적의 반대칭성 과 행렬식 형식 을 명시적으로 확인한다. 1.6 의 미분형식이 이 같은 대수 위에서 점마다 정의된다는 그림이 자연스럽다.

다음 절(1.6.1)로 가는 다리

§1.5 까지의 텐서·외적 어휘는 벡터공간 한 점 의 대수 — 점-별. 다음 §1.6 은 그 대수를 다양체 전체 위에 부드럽게 깐다 — 코탄젠트 공간·1-형식·pp-형식 그리고 그 위의 외미분. 여기서 푸앵카레 보조정리·스토크스 정리가 핵심 결과로 등장.