1.6.1 — 여접공간과 코벡터: 점 $p$ 에서 함수의 변화율 이 사는 공간

접공간 $T_p M$ 의 쌍대공간이 여접공간 $T^*_p M$. 그 원소가 코벡터 — 함수의 미분 $df_p$ 가 그 자연스러운 예. 다양체 전체에 깐 것이 여접번들 $T^*M$, 1-형식의 무대.

본문이 말하는 것

$M$ 을 $n$ 차원 매끄러운 다양체, $p \in M$ 라 하자. 여접공간 (cotangent space)

$$T^*_p M := (T_p M)^* = \{\omega : T_p M \to \mathbb R \mid \omega\, \text{는 선형}\}$$

— 점 $p$ 에서의 접공간의 쌍대공간. 그 원소가 코벡터 (또는 1-벡터).

차트 좌표 $(x^1, \dots, x^n)$ 의 좌표 기저 $\{\partial_i|_p\}$ 의 쌍대 기저는 $\{dx^i|_p\}$:

$$dx^i|_p (\partial_j|_p) = \delta^i_j$$

여접공간의 모든 원소는 $\omega_p = \omega_i\, dx^i|_p$ — 공변 인덱스 (1.5.1).

함수의 미분 (differential of a function). $f \in C^\infty(M)$ 의 점 $p$ 에서의 미분 $df_p \in T^*_p M$ 은

$$df_p (X_p) := X_p [f] \quad \forall X_p \in T_p M$$

— 접벡터를 받아 그 방향의 변화율 을 돌려주는 코벡터. 좌표로

$$df_p = \frac{\partial f}{\partial x^i}(p)\, dx^i|_p$$

함수 $f = x^i$ (좌표 함수) 라면 $d(x^i)_p = dx^i|_p$ — 기호 $dx^i$ 가 좌표 함수의 미분 과 일치한다. 그래서 $dx^i$ 라는 표기가 기저 코벡터인 동시에 좌표 함수의 미분 이라는 두 정체를 동시에 가진다.

여접번들 $T^*M = \bigsqcup_{p \in M} T^*_p M$ — 모든 여접공간의 disjoint union. 접번들 $TM$ (1.4.5) 의 쌍대 번들. $2n$ 차원 매끄러운 다양체. 해밀턴 역학의 무대다 — 4 章 의 정준 위상공간 (canonical phase space) 이 정확히 $T^*M$.

한 번 더, 천천히

도해를 그려 두면 — 접공간과 여접공간이 서로 마주 보는 두 거울이다.

(a) $T_p M$ 의 벡터 = 화살표. $p$ 에서 출발해 어딘가를 가리키는 방향 + 크기. 1.4.4 의 그림. 좌표 기저는 좌표 곡선의 속도 $\partial_i$.

(b) $T^*_p M$ 의 코벡터 = 등고선 가족. $p$ 근방에서 함수 값이 일정한 평면들 의 집합. 1.5.1 의 그림. 좌표 기저 $dx^i$ 는 좌표 함수 $x^i$ 의 등고선들.

(c) 둘의 결합 $\omega(X) \in \mathbb R$. 벡터의 화살표가 평면 가족을 몇 개 가로지르는가 — 그 수가 $\omega(X)$. 미터 (또는 내적) 가 없어도 이 결합은 잘 정의된다. 일반 다양체에서 $T_p M$ 과 $T^*_p M$ 사이의 자연적 동형이 없는 이유 — 내적의 부재.

(d) $df_p$ 가 함수의 국소 정보를 박는 방식. 함수 $f$ 의 점 $p$ 에서의 정보 가 $df_p$ 라는 한 코벡터에 압축. 동일 미분을 갖는 두 함수 $f, g$ 는 $p$ 에서 1차까지 같다 — 2차 차이는 $df_p$ 에 박히지 않는다. 이 국소 1차 정보 가 미적분의 전체 토대.

(e) 여접번들의 기하학적 의미. $T^*M$ 의 점 = $(p, \omega_p)$ = “위치 + 코벡터”. 라그랑주 역학의 $(q, \dot q)$ 가 접번들 $TM$ 에 살고, 해밀턴 역학의 $(q, p)$ 가 여접번들 $T^*M$ 에 산다. 르장드르 변환 이 둘을 잇는다 (5 章).

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여접공간 한 점 의 원소가 코벡터. 다양체 전체에 점마다 코벡터 하나씩을 매끄럽게 깐 것이 1-형식. 1.4.5 의 벡터장이 접번들의 단면 이듯, 1-형식은 여접번들의 단면. 1.6.2 가 그 정의와 좌표 표현을 박는다.