1.4.5 — 접번들과 벡터장: 모든 접공간을 한 자리에 모은 다양체

점마다 따로 살던 접공간 TpMT_p M 을 한 다양체 로 묶은 것이 접번들 TMTM. 그 위의 매끄러운 단면이 벡터장 — 다양체 위에 흐름의 처방 을 깐 객체.

본문이 말하는 것

접번들 (tangent bundle) TMTM 은 모든 접공간의 disjoint union:

TM=⨆p∈MTpM={(p,Xp):p∈M, Xp∈TpM}TM = \bigsqcup_{p \in M} T_p M = \{(p, X_p) : p \in M,\, X_p \in T_p M\}

사영 π:TM→M\pi : TM \to M 은 (p,Xp)↦p(p, X_p) \mapsto p.

TMTM 자체가 2n2n 차원 매끄러운 다양체. 차트는 MM 의 차트 ϕ:U→V⊂Rn\phi : U \to V \subset \mathbb R^n 로부터 자동으로 유도된다: (p,Xi∂i∣p)↦(ϕ(p),X1,…,Xn)∈V×Rn(p, X^i \partial_i|_p) \mapsto (\phi(p), X^1, \dots, X^n) \in V \times \mathbb R^n. 즉 국소적으로 TMTM 은 MM 의 차트 × Rn\mathbb R^n 의 모양. 그러나 전역적 으로는 그렇지 않을 수 있다 (위상이 비자명).

벡터장 (vector field) XX 는 매끄러운 사상 X:M→TMX : M \to TM 으로 π∘X=idM\pi \circ X = \text{id}_M — 즉 각 점 pp 에 그 점의 접벡터 X(p)∈TpMX(p) \in T_p M 을 매끄럽게 부여한 것. 차트 좌표로

X=Xi(x) ∂iX = X^i(x)\, \partial_i

여기서 Xi(x)X^i(x) 는 점의 좌표 함수. 매끄러움 조건이 Xi∈C∞(U)X^i \in C^\infty(U).

벡터장 전체의 집합을 X(M)\mathfrak X(M) 이라 적는다. C∞(M)C^\infty(M)-모듈 (스칼라곱은 함수가 가능).

한 번 더, 천천히

(1) 접번들의 위상. TRn≅Rn×RnT \mathbb R^n \cong \mathbb R^n \times \mathbb R^n (자명) 이지만 TS2T S^2 는 자명하지 않다 (헤어리 볼 정리: S2S^2 위에 비자명한 영이 아닌 매끄러운 벡터장이 없음). 위상이 전역적으로 평면 곱이 아닌 번들의 첫 예.

(2) 벡터장 = 흐름의 처방. X(p)∈TpMX(p) \in T_p M 은 그 점에서의 속도 화살표. 다양체 위에 방향 + 속력 을 깐 것. 그 처방을 따라 입자를 움직이면 적분곡선 (1.4.6). 동력학 시스템 p˙=X(p)\dot p = X(p) 의 일반 형식.

(3) X(M)\mathfrak X(M) 의 대수 구조. 두 벡터장의 합 (X+Y)(p)=X(p)+Y(p)(X + Y)(p) = X(p) + Y(p) 는 벡터장. 교환자 (commutator / Lie bracket) [X,Y]=XY−YX[X, Y] = XY - YX 도 벡터장 (1.4.8 에서 본격적으로). 단순 곱 XYXY 는 2차 미분이라 벡터장이 아니지만, XY−YXXY - YX 의 2차 항이 상쇄 되어 1차 미분만 남는다.

파이썬으로 확인 — R2\mathbb R^2 위 벡터장과 그 흐름

이 코드의 메시지는 단순하다: 회전 벡터장 X=−y∂x+x∂yX = -y \partial_x + x \partial_y 의 적분곡선 — 시각 tt 의 흐름 — 이 원 임을 본다. 다음 1.4.6 의 적분곡선·흐름의 정의를 미리 맛본다.

# 벡터장 X = -y ∂x + x ∂y (회전 발생자)
# 적분곡선 ODE:  dx/dt = -y,  dy/dt = x
# 초기조건 (1, 0) → 해는 (cos t, sin t) — 단위원
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

def rotation_vf(t, p):
    x, y = p
    return [-y, x]

sol = solve_ivp(rotation_vf, (0, 2 * np.pi), [1.0, 0.0],
                rtol=1e-10, atol=1e-12, dense_output=True)
t = np.linspace(0, 2 * np.pi, 200)
x, y = sol.sol(t)

# 원 위에 있는지: x² + y² = 1
r_squared = x**2 + y**2
print(f"max |r² - 1| = {np.max(np.abs(r_squared - 1)):.2e}")  # ~1e-9
print(f"x(π/2) = {sol.sol(np.pi/2)[0]:.6f}  (= 0 기대)")
print(f"y(π/2) = {sol.sol(np.pi/2)[1]:.6f}  (= 1 기대)")

이 결과는 벡터장이 흐름의 처방 이라는 직관을 — 회전 벡터장이 회전 흐름을 만들어 낸다 — 수치로 확인한다.

다음 절(1.4.6)로 가는 다리

벡터장이 흐름 을 정의한다는 관찰이 다음 1.4.6 의 적분곡선 + 1-매개변수 변환군 의 형식적 정의로 이어진다. 매끄러운 벡터장에서 국소적으로 유일한 흐름이 떨어진다 (ODE 의 존재·유일성 정리). 그 흐름이 변환군 구조를 갖는다.