1.4.4 — 접벡터와 접공간: 화살표 없이 작용소 만으로 정의하기

점 $p$ 의 접벡터를 도함수 (derivation) 로 정의한다. 화살표·임베딩 없이도 잘 정의되는 좌표 자유 접공간 $T_p M$ 의 모습. $\partial_i|_p$ 가 좌표 기저, 차원은 $n$.

본문이 말하는 것

다양체 $M$ 의 점 $p$ 에서의 접벡터 $X_p$ 는 선형 + 라이프니츠를 만족하는 $C^\infty(M) \to \mathbb R$ 의 선형 작용소:

$$X_p[af + bg] = a X_p[f] + b X_p[g],\quad X_p[fg] = X_p[f]\, g(p) + f(p)\, X_p[g]$$

$p$ 에서의 접벡터 전부 가 이루는 벡터공간이 접공간 $T_p M$. 차원은 다양체의 차원 $n$ 과 같다.

차트 $\phi(p) = (x^1, \dots, x^n)$ 에서 좌표 기저는

$$\partial_i\big|_p [f] := \left.\frac{\partial (f \circ \phi^{-1})}{\partial x^i}\right|_{\phi(p)}$$

(즉 $f$ 를 차트 좌표로 적었을 때의 $i$-번째 편미분.) 임의의 접벡터 $X_p$ 는 $X_p = X^i \partial_i|_p$ ($X^i \in \mathbb R$) — 반변 성분.

좌표 변환 $(x^i) \to (x'^j)$ 에서

$$\partial'_j\big|_p = \frac{\partial x^i}{\partial x'^j}(p)\, \partial_i\big|_p,\qquad X'^j = \frac{\partial x'^j}{\partial x^i}(p)\, X^i$$

— 1.3.1 의 반변 변환 규칙이 이 자리에서 추상적 정의로 승격된다.

동치 정의: 접벡터를 곡선의 동치류 로 정의해도 같다. 두 곡선 $\gamma_1, \gamma_2 : (-\varepsilon, \varepsilon) \to M$, $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = p$ 가 같은 접벡터 라는 것은, 어떤 (따라서 모든) 차트에서 $\dot{(\phi \circ \gamma_1)}(0) = \dot{(\phi \circ \gamma_2)}(0)$. 작용소 정의와 동치이며, 본 책은 둘을 자유롭게 오간다.

한 번 더, 천천히

도해를 그려 두면 — 접공간의 모양 은 $n$-차원 선형공간이다. 점 $p$ 위에 얹힌 평탄한 $\mathbb R^n$. 두 가지 그림이 도움이 된다.

(a) 곡선의 다발. $p$ 를 지나는 모든 매끄러운 곡선이 시각 0 에서 갖는 속도 정보 들의 집합. 같은 속도를 가진 곡선들이 한 동치류 — 그 동치류 하나가 접벡터 하나. 이 그림은 $\mathbb R^3$ 안의 곡면에서 본 시각적 직관 — 접하는 화살표들의 평면 — 과 일치.

(b) 작용소의 공간. $C^\infty(M)$ 의 $p$-에서의 1차 미분 들의 집합. 라이프니츠가 1차 미분만 으로 묶어 준다는 1.4.3 의 결과. 이 그림은 임베딩이 없어도 잘 정의된다.

두 그림이 일치하는 것이 본 절의 묘미. 벡터를 화살표로 보든 작용소로 보든 같은 객체. 이후 §1.5 의 코벡터 (1-form) 는 그 공간 위의 선형 함수. §1.6 의 미분형식 = 텐서곱 + 교대화 모두 이 작용소 정체에서 자라난다.

$T_p M$ 의 차원이 $n$ 인 까닭. 차트 좌표 기저 $\{\partial_1|_p, \dots, \partial_n|_p\}$ 가 일차 독립 ($\partial_i x^j = \delta^j_i$ 라 자명) 이고, 모든 도함수는 $\partial_i$ 들의 선형결합 (이건 해석적 사실 — 본문 참조). 두 사실로 $\dim T_p M = n$.

1.2.1 의 접공간 정의와의 연결. $\mathbb R^3$ 의 곡면 $S$ 의 경우, $\{\partial_u, \partial_v\}$ 와 $\{\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v\}$ 는 같은 기저. 임베딩이 있는 다양체에서는 두 정의가 명시적 동일.

다음 절(1.4.5)로 가는 다리

점 하나 의 접공간 $T_p M$ 만 박았다. 모든 점의 접공간 을 한꺼번에 묶어 둔 것이 다음 1.4.5 의 접번들 $TM$. 그리고 각 점에 접벡터 하나씩을 매끄럽게 부여한 것 이 벡터장. 자유 입자의 시간 흐름이 그 벡터장의 적분곡선 (1.4.6).