1.1.3 — 구속력과 가상일: 보이지 않는 힘을 풀지 않는 길

단진자 막대가 추에 가하는 장력 TT 는 얼마인가 — 식 한 줄로 적기 어려운 미지수다. 다랑베르의 처방은 그 미지수를 풀지 않는다. 가상 변위 위에서의 일이 0 이라는 조건만 박아 운동을 결정한다.

본문이 말하는 것

원서 1.1.3 절은 구속력 의 처리법을 정리한다. 구속이 있는 NN 입자 계에서 각 입자 ii 가 받는 힘은 두 종류:

  • 가해진 힘 Fiappl\mathbf{F}_i^{\text{appl}} — 중력·스프링·전자기력 등 1.1.1 의 가정 (4) 가 말하는 함수로 주어진 힘.
  • 구속력 Ri\mathbf{R}_i — 구속을 유지하기 위해 막대·철사·면이 가하는 미지의 힘. 사전에 함수로 주어지지 않는다.

뉴턴식은

mix¨i=Fiappl+Ri(i=1,…,N)m_i \ddot{\mathbf{x}}_i = \mathbf{F}_i^{\text{appl}} + \mathbf{R}_i \quad (i = 1, \dots, N)

문제는 Ri\mathbf{R}_i 가 미지라는 것. 얼마가 필요한지 가 운동의 결과로만 정해진다 (단진자에서 장력은 추의 속력에 따라 변한다).

해결책은 다랑베르의 원리 — 구속력은 가상 변위 에 대해 일을 하지 않는다.

가상 변위 δxi\delta\mathbf{x}_i 란 시각 tt 를 고정한 채 구속조건을 만족하도록 살짝 움직인 변위다. 홀로노믹 구속 fα(x,t)=0f_\alpha(\mathbf{x}, t) = 0 이면

∑i∂fα∂xi⋅δxi=0(α=1,…,k)\sum_i \frac{\partial f_\alpha}{\partial \mathbf{x}_i} \cdot \delta\mathbf{x}_i = 0 \quad (\alpha = 1, \dots, k)

이 가상 변위 전체에 대해 다랑베르가 요구하는 것은

∑iRi⋅δxi=0\sum_i \mathbf{R}_i \cdot \delta\mathbf{x}_i = 0

이 식을 위 뉴턴식에 대입하면, 미지의 Ri\mathbf{R}_i 가 사라진 한 줄이 남는다:

∑i(mix¨i−Fiappl)⋅δxi=0\sum_i (m_i \ddot{\mathbf{x}}_i - \mathbf{F}_i^{\text{appl}}) \cdot \delta\mathbf{x}_i = 0

이게 다랑베르–라그랑주 식 — 1.1.4 가 일반화 좌표로 다시 쓸 출발점.

한 번 더, 천천히

세 가지를 풀어 쓸 가치가 있다.

(1) 가상 변위는 실제 변위와 다르다. 실제 변위 dxi=x˙i dtd\mathbf{x}_i = \dot{\mathbf{x}}_i\, dt 는 시간이 흐르며 발생한다. 가상 변위 δxi\delta\mathbf{x}_i 는 시간이 얼어붙은 채 구속면 위를 따라 가는 가상의 변위. 레오노믹 구속에서는 둘이 명확히 다르다 — 시간이 흐르면 구속면 자체가 움직이기 때문.

(2) 다랑베르 원리의 물리 는 무마찰 구속. 매끄러운 면 위 입자라면 구속력 (수직항력) 은 면에 수직이고, 가상 변위는 면을 따라가니, 둘이 직각 → 일이 0. 거친 면이라면 마찰력 (면을 따라) 이 가상 변위와 평행 → 일을 한다. 이 책은 마찰 없는 구속만 다루므로 다랑베르 원리가 공리 처럼 통한다.

(3) 식의 묘미는 “모든 δxi\delta\mathbf{x}_i 에 대해” 가 아니라는 점. δxi\delta\mathbf{x}_i 는 구속을 따르는 변위 들만이다. 즉 임의 3N3N 차원의 변위가 아니라, 구속면의 접공간 — nn 차원 — 안의 변위. 1.1.4 가 이 점을 좌표 변환으로 활용한다.

파이썬으로 확인 — 단진자의 가상일

이 코드의 메시지는 단순하다: 단진자에서 구속력 (장력) 의 방향과 가상 변위 (접선) 의 방향은 직각이다 — 그래서 가상일이 항상 0 이다.

# 단진자: 추의 위치 x = ell * (sin θ, -cos θ).
# 구속력 R 은 막대 방향 (radial), 가상 변위 δx 는 접선 방향.
# 둘의 내적이 0 임을 임의의 θ 에서 확인한다.
import numpy as np

ell = 1.0
thetas = np.linspace(0, 2 * np.pi, 17, endpoint=False)  # 17 개의 임의 위치

works = []
for theta in thetas:
    pos = np.array([ell * np.sin(theta), -ell * np.cos(theta)])
    # 구속력 방향: 피벗 → 추의 반대 방향 (안쪽으로 당김), 단위벡터화
    R_dir = -pos / np.linalg.norm(pos)
    T = 3.0 + 2.0 * np.cos(theta)  # 장력은 위치에 따라 변함 (임의 모델)
    R = T * R_dir

    # 가상 변위 δx: θ 의 작은 변화에 의한 접선 방향
    dtheta = 0.001
    delta_x = np.array([ell * np.cos(theta), ell * np.sin(theta)]) * dtheta

    W = np.dot(R, delta_x)
    works.append(W)

works = np.array(works)
print(f"가상일들의 최대 절댓값 = {np.max(np.abs(works)):.2e}")  # ~기계 엡실론
print(f"평균 = {np.mean(works):.2e}, 표준편차 = {np.std(works):.2e}")

이 결과는 가상일이 위치에 무관하게 0 임을 보인다 — 다랑베르 원리가 단진자에서 공리가 아니라 기하 라는 사실이다. 구속력이 면에 수직이라는 기하학 이 가상일 0 의 출처다.

다음 절(1.1.4)로 가는 다리

다랑베르 원리는 구속력을 식에서 지운다. 그러나 식은 여전히 R3N\mathbb R^{3N} 의 좌표 xi\mathbf{x}_i 로 적혀 있다. 1.1.2 가 보인 그림은 — 진정한 운동 자유도는 n=3N−kn = 3N - k 개의 일반화 좌표 q1,…,qnq^1, \dots, q^n — 라는 것이었다. 다음 1.1.4 는 다랑베르–라그랑주 식을 그 nn 개의 좌표로 다시 적는다. 그 결과가 라그랑주식의 가장 거친 원형이다.