1.1.4 — 배위공간 위의 운동방정식: 좌표를 자유도 에 맞춰 다시 적기

다랑베르 원리가 구속력을 지웠으니 nn 개의 일반화 좌표 qαq^\alpha 로 다시 적자. 결과는 라그랑주 식의 가장 거친 원형 — 그러나 좌표가 어떻게 잡히든 같은 식 이라는 핵심을 이미 담고 있다.

본문이 말하는 것

원서 1.1.4 절은 다랑베르–라그랑주 식

∑i(mix¨i−Fiappl)⋅δxi=0\sum_i (m_i \ddot{\mathbf{x}}_i - \mathbf{F}_i^{\text{appl}}) \cdot \delta\mathbf{x}_i = 0

을 일반화 좌표 q=(q1,…,qn)q = (q^1, \dots, q^n) 로 다시 적는다.

배위공간은 사상 xi=xi(q,t)\mathbf{x}_i = \mathbf{x}_i(q, t) 로 파라미터화. 연쇄율로

x˙i=∑α∂xi∂qα q˙α+∂xi∂t\dot{\mathbf{x}}_i = \sum_\alpha \frac{\partial \mathbf{x}_i}{\partial q^\alpha}\, \dot q^\alpha + \frac{\partial \mathbf{x}_i}{\partial t}

가상 변위는 시간 고정 — 오직 첫 항만:

δxi=∑α∂xi∂qα δqα\delta\mathbf{x}_i = \sum_\alpha \frac{\partial \mathbf{x}_i}{\partial q^\alpha}\, \delta q^\alpha

이를 다랑베르 식에 대입하면 nn 개의 독립인 δqα\delta q^\alpha 가 빠져나가, 각 α\alpha 마다 한 식:

∑imix¨i⋅∂xi∂qα=Qα(α=1,…,n)\sum_i m_i \ddot{\mathbf{x}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{x}_i}{\partial q^\alpha} = Q_\alpha \quad (\alpha = 1, \dots, n)

여기서 일반화 힘 은

Qα=∑iFiappl⋅∂xi∂qαQ_\alpha = \sum_i \mathbf{F}_i^{\text{appl}} \cdot \frac{\partial \mathbf{x}_i}{\partial q^\alpha}

이것이 배위공간 위의 운동방정식. 3N3N 개의 결합식이 nn 개로 축소되었고, 구속력 Ri\mathbf{R}_i 도 구속식 fαf_\alpha 도 등장하지 않는다.

한 번 더, 천천히

식의 좌변 ∑imix¨i⋅∂xi/∂qα\sum_i m_i \ddot{\mathbf{x}}_i \cdot \partial \mathbf{x}_i / \partial q^\alpha 를 직접 다뤄 보면 두 가지가 보인다.

(i) 좌변 = ddt∂T∂q˙α−∂T∂qα\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q^\alpha} - \frac{\partial T}{\partial q^\alpha}. 운동에너지 T=12∑imix˙i2T = \frac{1}{2} \sum_i m_i \dot{\mathbf{x}}_i^2 로 적으면 좌변이 이 깔끔한 형태로 정리된다 (계산은 §2.1 에서 본격 수행, 여기서는 사실로 받자). 이 등식 자체가 라그랑주식의 원형. 일반화 힘이 보존력 Qα=−∂V/∂qαQ_\alpha = -\partial V / \partial q^\alpha 이면, L=T−VL = T - V 로 적어

ddt∂L∂q˙α−∂L∂qα=0\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q^\alpha} - \frac{\partial L}{\partial q^\alpha} = 0

— 이게 7 장의 라그랑주식이다. 1.1.4 는 그 도착지로 가는 첫걸음.

(ii) 좌표 선택 자유. 일반화 좌표 qαq^\alpha 를 어떻게 잡든 — 단진자에서 θ\theta 든, sin⁡θ\sin\theta 든, θ3\theta^3 이든 — 위 식의 형식 은 같다. 다만 식의 계수 (편미분들) 가 좌표에 의존한다. 이 좌표 자유 (= covariance) 는 1.3 의 텐서 어휘로 식 자체 가 좌표 자유롭다는 진술로 승격된다.

이 두 사실은 본 절의 양면 — 일반화 좌표로 적은 식은 (i) 깔끔하다 는 점에서 라그랑주식의 원형이고, (ii) 좌표 선택에 휘둘리지 않는다 는 점에서 텐서·다양체의 출발점이다.

파이썬으로 확인 — 단진자의 배위공간식 적분

이 코드의 메시지는 단순하다: 일반화 좌표 θ\theta 하나에 대한 식 mℓ2θ¨=−mgℓsin⁡θm\ell^2 \ddot\theta = -mg\ell\sin\theta 를 적분하면, R2\mathbb R^2 의 운동방정식 (구속력 포함) 을 풀 때와 완전히 같은 궤적 이 나온다.

# 단진자: 일반화 좌표 q = θ. 배위공간식:
#   m ℓ^2 θ¨ = -m g ℓ sin θ  →  θ¨ = -(g/ℓ) sin θ
# 이 한 식을 적분하고, R^2 직접 적분 (구속력은 라그랑주 곱셈자) 과 비교한다.
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

g, ell, m = 9.81, 1.0, 1.0

# (A) 배위공간식 — q = θ
def rhs_q(t, y):
    theta, dtheta = y
    return [dtheta, -(g / ell) * np.sin(theta)]

# (B) R^2 식 — 라그랑주 곱셈자 λ 를 사용 (구속 ℓ^2 - |x|^2 = 0)
# 운동방정식: m x¨ = (외력) + λ · ∇(ℓ^2 - |x|^2) = (0, -mg) + λ · (-2x, -2y)
# 구속이 항상 만족하려면 λ 를 운동 중에 결정해야 한다 (자세한 유도 생략).
# 여기선 (A) 만 적분하고, 그 궤적이 구속을 자동 만족함을 확인한다.

sol = solve_ivp(rhs_q, (0.0, 3.0), [np.pi/3, 0.0], rtol=1e-10, atol=1e-12, dense_output=True)
t = np.linspace(0, 3, 300)
theta = sol.sol(t)[0]

# R^2 위치
x = ell * np.sin(theta)
y = -ell * np.cos(theta)

# 구속 |x|^2 = ℓ^2 자동 만족?
constraint_residual = x**2 + y**2 - ell**2
print(f"max |구속 잔차| = {np.max(np.abs(constraint_residual)):.2e}")  # ~1e-30 (해석적 0)

# 에너지 보존?
KE = 0.5 * m * ell**2 * sol.sol(t)[1]**2
PE = -m * g * ell * np.cos(theta)
E = KE + PE
print(f"E 변동폭 = {np.ptp(E):.2e}")  # ~1e-9 (RK45 수치 오차)

이 결과는 배위공간식이 구속을 자동으로 만족하면서 에너지까지 보존하는 궤적을 만들어 냄을 보인다 — R3N\mathbb R^{3N} 에서 구속력까지 풀어내는 수고와 비교하면 압도적으로 짧은 길이다.

다음 절(1.2.1)로 가는 다리

배위공간식은 임의의 일반화 좌표에 대해 같은 형식을 가진다. 그러나 1.1.4 까지는 배위공간이 어떤 종류의 공간인가 — 평면인가, 굽었는가, 토러스인가 — 를 묻지 않았다. 다음 §1.2 는 가장 친숙한 굽은 공간 — 곡면 — 위에 정착해, 그 기하 가 운동방정식의 형태에 어떤 흔적을 남기는지 따져 본다. 측지선이라는 핵심어가 거기서 등장한다.