4.3.2 — 상류와 불변 집합: 평형점·주기해·attractor 의 골격

상류 $\phi_t : M \to M$ 의 불변 집합 이 동력학의 질적 골격. 평형점 (0차원), 주기해 (1차원), 환·환의 attractor (고차원) 가 차례로 등장. 비-해밀턴 시스템의 기억력 있는 행동의 출처.

본문이 말하는 것

상류 (phase flow) $\phi_t : M \to M$, $\phi_t(x_0) =$ ODE $\dot x = f(x)$ 의 시각 $t$ 에서의 해 ($x(0) = x_0$). §1.4.6 의 1-매개변수 변환군 — 그러나 이번에는 해밀턴 시스템에 한정되지 않는다.

불변 집합 (invariant set): 집합 $S \subseteq M$ 이 $\phi_t(S) = S$ 모든 $t$ — 흐름이 $S$ 밖으로 떠나지 않는다.

기본 불변 집합 류.

• 평형점 (equilibrium / fixed point): $f(x^*) = 0$ 인 점. $\phi_t(x^*) = x^*$ 모든 $t$.
• 주기해 (periodic orbit): 어떤 주기 $T > 0$ 에 대해 $\phi_T(x_0) = x_0$ 인 닫힌 곡선.
• 준주기 환 (quasi-periodic torus): $n$ 차원 환 $T^n$ — 조정 불가능한 진동수 비.
• 카오스 attractor: 위 의 어느 것도 아닌 프랙탈 구조.

$\omega$-극한 집합. 한 점 $x$ 의 미래로의 극한 — $\omega(x) := \{y \in M : \phi_{t_n}(x) \to y, t_n \to \infty\}$. 운동의 최종 운명. 비-해밀턴 시스템에서는 attractor (수축하는 불변 집합) 로 수렴.

$\alpha$-극한 집합. 과거 극한 — 시간 반대 방향.

한 번 더, 천천히

(1) 해밀턴 시스템의 attractor 부재. 해밀턴 흐름은 체적 보존 — 작은 영역이 수축할 수 없다. 그래서 진정한 attractor 없음. 모든 운동이 에너지 등고면 위 — 그 위에서 섞임 만 가능 (KAM, 에르고드성).

(2) Liapunov 함수의 예고편. 비-해밀턴 시스템에서 에너지가 단조 감소 하는 함수 (= Liapunov 함수) 가 있으면 attractor 로 수렴 보장. §4.3.7 의 주제.

(3) Poincaré–Bendixson 정리 (2D). 2차원 동력학 시스템 (예: 마찰 진자, van der Pol) 의 유계 궤도의 $\omega$-극한 집합은 평형점 또는 주기해 — 즉 2D 에서는 카오스 불가. 3D 이상에서 카오스가 가능한 위상학적 이유.

(4) 카오스 attractor 의 프랙탈 본성. Lorenz attractor, Rössler attractor — 측도 0 이지만 비-자명한 프랙탈 차원 (예: Lorenz 의 2.06). 비-해밀턴 + 3D 이상 의 시스템에서 자연스럽게 등장.

(5) 헤테로클리닉·호모클리닉 궤도. 평형점에서 시작해 다른 평형점으로 가는 궤도 = 헤테로클리닉; 같은 평형점으로 돌아오는 = 호모클리닉. 카오스 발생의 유기적 종자. 단진자의 separatrix 가 호모클리닉 궤도의 단순 예.

파이썬으로 확인 — 마찰 진자의 평형점 attractor

이 코드의 메시지는 단순하다: 마찰 진자에서 모든 초기조건 이 아래 방향 평형점 $(\theta = 0, p = 0)$ 으로 수렴함을 본다. 위쪽 평형점 $(\theta = \pi, p = 0)$ 은 불안정, 그 안정 다양체 (호모클리닉) 의 경계 너머 에서만 운동이 위쪽으로 못 간다.

# 마찰 진자: θ¨ = -sin θ - γ θ̇
# 평형점 두 개: (0, 0) 안정, (π, 0) 불안정
# 다양한 초기조건에서 t → ∞ 행동
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

gamma = 0.3

def damped_pendulum(t, y):
    theta, p = y
    return [p, -np.sin(theta) - gamma * p]

# 다양한 초기조건
initial_states = [
    (0.5, 0.0, "작은 변위"),
    (np.pi - 0.1, 0.0, "위쪽 부근"),
    (0.0, 3.0, "빠른 회전 (한 바퀴)"),
    (0.0, 1.5, "약한 회전 (못 넘김)"),
]

for theta0, p0, name in initial_states:
    sol = solve_ivp(damped_pendulum, (0, 50.0), [theta0, p0],
                    rtol=1e-9, atol=1e-11, dense_output=True)
    final = sol.sol(50.0)
    # 평형점 (0, 0) 또는 (2πn, 0) 으로 수렴
    theta_mod = final[0] - 2 * np.pi * np.round(final[0] / (2 * np.pi))
    print(f"{name:<25}  최종 (θ mod 2π, p) = ({theta_mod:+.4f}, {final[1]:+.4f})")

print("\n→ 모든 운동이 *평형점* (안정한 아래쪽) 으로 수렴.")
print("  (0, 0) 가 *attractor*, 그 *吸引권* (basin) 이 위쪽 평형점의 안정 다양체로 경계.")

이 결과는 비-해밀턴 시스템의 attractor 의 의미 — 모든 운동이 몇 개의 특별한 집합 으로 수렴 — 을 보여 준다.

다음 절(4.3.3)로 가는 다리

평형점과 주기해를 식별하는 일이 동력학 분석의 첫 단계. 그러나 안정성 — 작은 perturbation 에 대해 그 상태가 유지되는가 — 이 운동의 물리적 의미 를 결정. §4.3.3 이 안정성의 정확한 정의 (Liapunov, 점근적, 구조적) 를 박는다.