1.2.5 — 관성운동과 측지선: 곡면 위 직선 의 정의

외력이 없는 입자가 곡면 위에서 그리는 곡선이 측지선 — 굽은 면 위에서 직선이 무엇인지 묻는 자리. 같은 식이 최단경로 변분 문제의 오일러–라그랑주 식이기도 하다.

본문이 말하는 것

원서 1.2.5 절은 1.2.4 의 운동방정식

u¨k+Γijk u˙iu˙j=1m gkl Flappl\ddot u^k + \Gamma^k_{ij}\, \dot u^i \dot u^j = \frac{1}{m}\, g^{kl}\, F^{\text{appl}}_l

에서 외력 Fappl=0\mathbf{F}^{\text{appl}} = 0 인 경우를 분리해 본다. 자유 운동 (관성운동, inertial motion) 의 방정식은

u¨k+Γijk u˙iu˙j=0\ddot u^k + \Gamma^k_{ij}\, \dot u^i \dot u^j = 0

이 식의 해 — 곡면 위의 곡선 (u(t),v(t))(u(t), v(t)) — 를 측지선 (geodesic) 이라 한다. 평면의 자유 입자는 u¨=0\ddot u = 0 으로 직선을 그리는데, 굽은 면에서는 Γ\Gamma 항이 그 직선성 을 변형한다 — 그러나 곡면의 내재적 기하 안에서는 측지선이 여전히 가장 직선스러운 곡선 이다.

두 가지 정의가 같음 (본문이 사실로 받는다):

  1. 운동학적 정의 — 위의 ODE 를 만족하는 곡선.
  2. 변분적 정의 — 두 점을 잇는 호의 길이 L=∫gij u˙iu˙j dtL = \int \sqrt{g_{ij}\, \dot u^i \dot u^j}\, dt 의 극값 곡선.

두 정의의 오일러–라그랑주 식이 같다는 사실이 측지선의 이중성격을 결정한다.

한 번 더, 천천히

(1) 측지선의 직관 — 구면. 구면 위 측지선은 대원 (great circle). 적도, 자오선, 비스듬한 대원 모두 측지선. 두 점을 잇는 최단경로 가 대원의 호. 비행기의 great-circle 항로가 이것.

(2) 측지선의 직관 — 원기둥. 원기둥은 국소적으로 평면 (1.2.1) 이라 측지선은 평면 위의 나선 + 직선 + 원. 원기둥을 펼치면 측지선이 직선이 된다 — 이 사실이 내재적 평탄 의 정의로 이어진다.

(3) 두 정의가 같은 까닭. 운동학적 정의에서 시간 tt 는 곡선의 매개변수. 변분적 정의는 호의 길이 가 매개변수. 둘이 같으려면 곡선이 일정 속도 로 매개변수화되어야 한다. 운동학식 자체가 ∣r˙∣2=giju˙iu˙j|\dot{\mathbf{r}}|^2 = g_{ij} \dot u^i \dot u^j 의 시간 미분을 0 으로 만든다 (계산 생략, 본문 참조) — 즉 측지선은 자동으로 일정 속도 곡선이다.

(4) 일반 상대론으로의 다리. Γijku˙iu˙j=0\Gamma^k_{ij} \dot u^i \dot u^j = 0 인 곡선이 자유낙하 입자의 4-궤적 — 일반상대론의 측지선 가설. 본 책의 1.2.5 는 그 4 차원판의 2 차원 원형이다.

파이썬으로 확인 — 구면 측지선이 대원

이 코드의 메시지는 단순하다: 적도 θ=π/2\theta = \pi/2 에서 동쪽으로 (ϕ˙>0\dot\phi > 0) 출발한 자유 입자의 궤적을 측지선 ODE 로 적분해, 그것이 적도를 따라 흐른다 는 사실을 본다. 즉 θ(t)=π/2\theta(t) = \pi/2 가 유지된다.

# 구면 측지선 ODE:
#   θ¨ - sin(θ)cos(θ) * φ̇² = 0
#   φ¨ + 2 cot(θ) * θ̇ * φ̇ = 0
# 적도에서 동쪽으로 출발: θ(0)=π/2, φ(0)=0, θ̇(0)=0, φ̇(0)=ω
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

def rhs(t, y):
    theta, phi, dtheta, dphi = y
    ddtheta = np.sin(theta) * np.cos(theta) * dphi**2
    ddphi = -2 * (np.cos(theta) / np.sin(theta)) * dtheta * dphi
    return [dtheta, dphi, ddtheta, ddphi]

y0 = [np.pi / 2, 0.0, 0.0, 0.5]  # 적도, 동쪽, ω = 0.5
sol = solve_ivp(rhs, (0, 10.0), y0, rtol=1e-10, atol=1e-12, dense_output=True)

t = np.linspace(0, 10, 200)
theta_t = sol.sol(t)[0]

print(f"θ(t) 의 평균:  {np.mean(theta_t):.6f}  (= π/2 = {np.pi/2:.6f} 기대)")
print(f"θ(t) 의 편차:  {np.std(theta_t):.2e}  (= 0 기대)")
print(f"φ(t=10) - φ(0) = {sol.sol(10)[1]:.4f}  (= 5.0 기대 — ω*t)")

이 결과는 적도 출발의 측지선이 완벽히 적도를 따른다 는 사실 — 즉 대원이 수치적으로도 측지선이라는 사실을 보여 준다.

다음 절(1.3.1)로 가는 다리

지금까지의 §1.2 는 곡면을 R3\mathbb R^3 의 부분집합 으로 보고 그 임베딩의 편미분으로 모든 양을 정의했다. 그러나 미터 gijg_{ij} 만 알면 측지선도 공변 가속도 도 모두 결정된다는 사실은, 임베딩이 사실 필요 없다 는 점을 시사한다. 다음 §1.3 은 곡면 위 벡터·텐서 의 개념을 임베딩에서 독립시켜, 1.4 의 다양체 정의로 가는 길을 닦는다.