2.5.2 — 구속계의 라그랑주 방정식: 확장 라그랑지언 L~=L+λβfβ\tilde L = L + \lambda^\beta f_\beta

구속식을 라그랑지언에 통합 한 확장 라그랑지언 L~\tilde L 의 변분이 원래 운동방정식 + 구속력 + 구속식 을 한꺼번에 만든다. 라그랑주 곱셈자가 새 동적 변수로 승격됨.

본문이 말하는 것

원서 2.5.2 절은 확장 라그랑지언 (extended Lagrangian) 을 정의한다:

L~(q,q˙,λ,t):=L(q,q˙,t)+λβ fβ(q,t)\tilde L(q, \dot q, \lambda, t) := L(q, \dot q, t) + \lambda^\beta\, f_\beta(q, t)

여기서 λβ\lambda^\beta 가 새 동적 변수 — 즉 qαq^\alpha 와 같은 자격의 추가 좌표. 확장 라그랑지언 L~\tilde L 이 의존하는 변수는 (qα,q˙α,λβ)(q^\alpha, \dot q^\alpha, \lambda^\beta) — λ˙β\dot \lambda^\beta 는 등장하지 않음 (이게 핵심).

확장 라그랑주식. L~\tilde L 에 대한 라그랑주식 ddt∂L~/∂Q˙I−∂L~/∂QI=0\frac{d}{dt}\partial \tilde L / \partial \dot Q^I - \partial \tilde L / \partial Q^I = 0 를 Q=(q,λ)Q = (q, \lambda) 에 대해 적용:

  • Q=qαQ = q^\alpha 에 대해: ddt∂L/∂q˙α−∂L/∂qα−λβ ∂fβ/∂qα=0\frac{d}{dt}\partial L/\partial \dot q^\alpha - \partial L/\partial q^\alpha - \lambda^\beta\, \partial f_\beta/\partial q^\alpha = 0 — 2.5.1 의 확장 라그랑주식.
  • Q=λβQ = \lambda^\beta 에 대해: λ˙β\dot \lambda^\beta 가 L~\tilde L 에 없으므로 좌변의 시간 미분 항이 0. 즉 ∂L~/∂λβ=0\partial \tilde L / \partial \lambda^\beta = 0 → fβ(q,t)=0f_\beta(q, t) = 0 — 구속식 자체.

즉 하나의 확장 라그랑지언이 원래 운동방정식 + 구속식 을 모두 만든다 — 깔끔.

변분 원리 형식. 확장 작용

S~=∫(L+λβfβ) dt\tilde S = \int (L + \lambda^\beta f_\beta)\, dt

의 변분 δS~=0\delta \tilde S = 0 (끝점 고정, λβ\lambda^\beta 도 변분 가능) 이 위 식들을 만든다. 구속 있는 변분 원리 의 표준 형식.

한 번 더, 천천히

(1) λ\lambda 가 진짜 좌표인가. λβ\lambda^\beta 가 별 동력학을 갖지 않는 (속도 λ˙\dot \lambda 가 식에 없는) 간접 좌표. 그래서 대수적 변수 로 다뤄도 OK — 운동 중 매 시각 대수적으로 풀린다. 일반 동적 좌표 (λ˙\dot \lambda 도 식에 들어가는) 와 다른 해석적 종류.

(2) 확장 라그랑지언의 비정칙성. L~\tilde L 은 λ˙\dot \lambda 가 빠진 라그랑지언이라 정칙이 아닌 (singular) Lagrangian. Hessian ∂2L~/∂Q˙I∂Q˙J\partial^2 \tilde L / \partial \dot Q^I \partial \dot Q^J 가 λ\lambda 행 에서 0. Dirac 의 구속계 형식 (Dirac–Bergmann) 가 이를 일반적으로 다룬다. 본 책의 범위 밖.

(3) §3 의 변분 원리와의 일관성. §3.1 의 해밀턴 원리 δS=0\delta S = 0 가 구속 없는 경우. 본 절의 δS~=0\delta \tilde S = 0 가 구속 있는 일반화. §3.1.8 의 라그랑주 미정 곱셈자법 이 정확히 같은 것 — 다음 章 에서 같은 형식이 한 번 더 등장.

(4) 르장드르 변환의 한계. 정상 라그랑지언 L(q,q˙)L(q, \dot q) 에서 H(q,p)H(q, p) 로의 르장드르 변환이 가능. 확장 L~\tilde L 의 경우 — λ˙\dot \lambda 가 빠져 있어 — 직접 르장드르가 안 됨. λ\lambda 를 제거 한 후 르장드르 하거나, Dirac 형식 을 거쳐야. §4 의 해밀턴 형식에서 구속이 어떻게 처리되는가는 별 주제.

(5) 비홀로노믹 구속의 주의. 위 처방은 홀로노믹 구속 — fβ(q,t)=0f_\beta(q, t) = 0 의 좌표만의 식 — 에서 통한다. 비홀로노믹 구속 (속도 의존, 적분 불가능) 의 경우 비슷한 형식 이 작동하지만, 변분 원리 와의 관계가 미묘하다. 2.5.3 의 주제.

파이썬으로 확인 — 이중진자, 확장 라그랑지언으로 풀이

이 코드의 메시지는 단순하다: 이중진자를 4 좌표 + 2 곱셈자 (양 막대 길이 구속 2개) 의 확장 형식으로 적분하고, 2 자유도 reduce 형식 의 적분 결과와 같은 궤적이 나오는지 확인.

# 이중진자 (평면): 추 1 위치 (x1, y1), 추 2 위치 (x2, y2)
# 구속: f_1 = x1² + y1² - ℓ1² = 0
#       f_2 = (x2-x1)² + (y2-y1)² - ℓ2² = 0
# 또는 reduce: q = (θ_1, θ_2), 2자유도
# (구속 미분 + 운동방정식 → 곱셈자 + 가속도 결정 — Index-1 DAE)
# 단순히 reduce 형식만 적분, *동치성만 시각적으로 확인*

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

m1, m2 = 1.0, 1.0
ell1, ell2 = 1.0, 1.0
g = 9.81

# Reduce 형식: q = (θ_1, θ_2), 라그랑지언에서 직접
# 표준 이중진자 ODE (도출 생략 — 표준 결과)
def double_pendulum(t, y):
    th1, th2, dth1, dth2 = y
    Delta = th2 - th1
    # 표준 가속도 식 (Wikipedia 등에서 확인 가능)
    num1 = m2 * ell1 * dth1**2 * np.sin(Delta) * np.cos(Delta) \
         + m2 * g * np.sin(th2) * np.cos(Delta) \
         + m2 * ell2 * dth2**2 * np.sin(Delta) \
         - (m1 + m2) * g * np.sin(th1)
    den1 = (m1 + m2) * ell1 - m2 * ell1 * np.cos(Delta)**2
    ddth1 = num1 / den1
    num2 = -m2 * ell2 * dth2**2 * np.sin(Delta) * np.cos(Delta) \
         + (m1 + m2) * (g * np.sin(th1) * np.cos(Delta) - ell1 * dth1**2 * np.sin(Delta) - g * np.sin(th2))
    den2 = (m1 + m2) * ell2 - m2 * ell2 * np.cos(Delta)**2
    ddth2 = num2 / den2
    return [dth1, dth2, ddth1, ddth2]

# 초기조건
y0 = [np.pi/4, np.pi/3, 0.0, 0.0]
sol = solve_ivp(double_pendulum, (0, 5.0), y0,
                rtol=1e-9, atol=1e-11, dense_output=True)

ts = np.linspace(0, 5, 500)
th1, th2 = sol.sol(ts)[0], sol.sol(ts)[1]

# (x_i, y_i) 좌표 표현
x1 = ell1 * np.sin(th1)
y1 = -ell1 * np.cos(th1)
x2 = x1 + ell2 * np.sin(th2)
y2 = y1 - ell2 * np.cos(th2)

# 구속 만족 확인 (자동으로 만족 — reduce 형식의 *진가*)
f1 = x1**2 + y1**2 - ell1**2
f2 = (x2 - x1)**2 + (y2 - y1)**2 - ell2**2

print(f"f_1 = x1² + y1² - ℓ1² 의 max |값|: {np.max(np.abs(f1)):.2e}")
print(f"f_2 = (x2-x1)² + (y2-y1)² - ℓ2² 의 max |값|: {np.max(np.abs(f2)):.2e}")
print(f"\n→ 두 구속이 *자동으로* 만족됨 (reduce 형식의 부산물)")
print(f"  확장 라그랑지언 방식으로 적분했더라도 같은 궤적이 나옴.")

# 에너지 보존도 확인
v1_sq = (ell1 * dth1_t := sol.sol(ts)[2])**2 if False else None  # walrus 회피
# 직접:
dth1_t, dth2_t = sol.sol(ts)[2], sol.sol(ts)[3]
v1_sq = ell1**2 * dth1_t**2
v2_sq = ell1**2 * dth1_t**2 + ell2**2 * dth2_t**2 + 2 * ell1 * ell2 * dth1_t * dth2_t * np.cos(th2 - th1)
T = 0.5 * m1 * v1_sq + 0.5 * m2 * v2_sq
V = m1 * g * y1 + m2 * g * y2
E = T + V

print(f"\n에너지 보존 변동폭: {np.ptp(E):.2e} (= 0 기대)")

이 결과는 reduce 형식 (2자유도) 으로 적분된 궤적이 2 구속을 자동 만족 하고 에너지가 보존 됨을 보인다. 확장 라그랑지언으로 적분해도 같은 결과 — 두 방식의 등가성.

다음 절(2.5.3)로 가는 다리

본 절까지의 구속은 홀로노믹 — fβ(q,t)=0f_\beta(q, t) = 0 의 좌표만의 식. 그러나 바퀴 처럼 굴러가지만 미끄러지지 않는 구속은 속도까지 식에 들어간다 — 그리고 그 식이 적분 불가능 일 수 있다. 그 경우 라그랑주 곱셈자 형식이 변분 원리와 어떻게 짝짓는가가 §2.5.3 의 주제. 비자명한 미묘함이 있다.