5.5.4 — 리우빌의 정리 (재논의): 적분 가능 시스템의 작용-각 변수 시점

§4.4.4 의 리우빌 정리를 작용-각 변수 시점에서 재논의. 적분 가능 시스템의 위상공간이 작용 변수의 곱 으로 깔끔. KAM 정리·해석역학 II 의 문턱.

본문이 말하는 것

§4.4.4 의 리우빌 정리: 해밀턴 흐름이 위상공간 체적 보존. 본 절은 Liouville–Arnold 정리 (§5.2.4 회수) 의 시점에서 재논의.

Liouville–Arnold 정리. $n$ 자유도 시스템이 $n$ 개의 대합 제1적분 $F_1, \dots, F_n$ ($\{F_i, F_j\} = 0$) 을 가지고, 공통 등고면 $M_c = \{F_i = c_i\}$ 이 콤팩트하고 연결 이면, $M_c$ 가 $n$-차원 환 $T^n$ 과 심플렉틱 동형.

그 위에 작용-각 변수 $(J_i, \phi_i)$ 의 정준 좌표 가 존재:

$$J_i = \frac{1}{2\pi} \oint_{\gamma_i} p \cdot dq \quad \text{(작용 변수, §5.2.2)}$$ $$\phi_i \in S^1 \quad \text{(각 변수, 환의 좌표)}$$

해밀토니언이 $H(J)$ — 각 변수 무관. 정준 방정식:

$$\dot J_i = 0,\quad \dot \phi_i = \frac{\partial H}{\partial J_i} = \omega_i(J)$$

즉 운동이 각 환 위의 균일 회전. 진동수 $\omega_i$ 가 작용 의 함수.

리우빌 정리의 재해석. 위상공간 체적 = $J$ 의 공간에서 측도 곱 $\prod_i dJ_i \cdot \prod_i d\phi_i$ — 각 변수의 측도가 $S^1$ 의 균일 + 작용 변수가 직선. 흐름이 각 방향으로만 회전, 작용 방향은 고정. 그래서 부피 자동 보존.

한 번 더, 천천히

(1) §4.4.4 와의 통합. §4.4.4 의 체적 보존 의 국소적 증명 (div = 0) 과 Liouville–Arnold 의 대역적 정리 가 같은 결과의 두 시점. 후자가 적분 가능 시스템의 구조 까지 명시.

(2) 작용 변수의 물리적 의미.

• 조화 진동자: $J = E/\omega$ (= 양자수 $\hbar n + \hbar/2$ 의 고전 한계).
• 케플러: $J_r =$ 반지름 방향 작용, $L_z =$ 각운동량 (각 작용 변수와 같음).
• 단진자: $J = \frac{1}{2\pi} \oint p\, d\theta$ — 진동의 작용.

작용 변수 = Bohr–Sommerfeld 양자수 의 고전판.

(3) KAM 정리의 문턱. 적분 가능 시스템에 작은 perturbation — KAM 환의 살아남음. 작용-각 변수가 대부분 깨지지만 대부분의 환이 살아남는다. 카오스가 KAM 환 사이의 카오스 영역 에 갇힘.

(4) 양자화로의 다리. 작용 = $n\hbar$ (Bohr–Sommerfeld) — 적분 가능 시스템의 고전적 양자수 발생법. 반고전 양자화 (EBK 양자화) 가 본 절의 직접 응용.

(5) §4.4.4 + §5.5.4 의 일치. §4.4.4 가 체적 보존 → 푸앵카레 재귀. §5.5.4 가 적분 가능 → 환 위 균일 회전. 두 결과가 작용-각 변수에서 자명하게 일치 — 환 위 균일 회전은 자명히 결국 다시 가까이.

(6) 본권 통합. §1 의 다양체·미분형식이 §4 의 심플렉틱 다양체 + 해밀턴 벡터장으로, §2 의 라그랑주 형식이 §4.1.2 의 르장드르로, §3 의 변분 원리가 §5.3 의 정준 변환의 생성 함수로, §4.4.4 의 리우빌이 본 절의 작용-각 변수로 — *전 章 의 모든 어휘가 한 자리에서 자연스럽게 통합. 해석역학 I 본문 해설 의 마지막 페이지 의 의미는, 모든 도구가 사실 한 깊은 구조 — 심플렉틱 기하학 — 의 다른 시점 이라는 사실.

파이썬으로 확인 — 조화 진동자의 작용-각 변수에서 본 리우빌

이 코드의 메시지는 단순하다: 조화 진동자의 원 좌표 $(q, p)$ 에서 작용-각 변수 $(J, \phi)$ 로 변환. 작용 $J$ 가 시간에 무관, 각 $\phi$ 가 균일 회전. 위상공간 측도가 $dJ\, d\phi$ — 자동 보존.

# 조화 진동자: H = (p² + ω²q²)/2
# 작용-각 변수: J = H/ω, φ = arctan(ωq/p)
# 측도: dq dp = dJ dφ (정준 변환의 정의)
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

omega = 1.5

def harmonic(t, y):
    q, p = y
    return [p, -omega**2 * q]

# 위상공간 *원* — 다양한 초기조건
N = 8
angles_init = np.linspace(0, 2*np.pi, N, endpoint=False)
radii = [0.5, 1.0, 1.5]

print(f"조화 진동자, ω = {omega}")
print(f"작용-각 변수 검증: 각 초기조건의 J 와 φ 시간 변화")
print()

for r in radii:
    print(f"  초기 반경 r = {r}:")
    for theta_0 in angles_init[:3]:  # 처음 3개만 출력
        q0 = r * np.cos(theta_0)
        p0 = r * omega * np.sin(theta_0)
        
        sol = solve_ivp(harmonic, (0, 4*np.pi/omega), [q0, p0],
                        rtol=1e-10, atol=1e-12, dense_output=True)
        
        ts = np.linspace(0, 4*np.pi/omega, 100)
        q_t, p_t = sol.sol(ts)
        
        # 작용 변수 J = H/ω = (p²+ω²q²)/(2ω)
        J_t = (p_t**2 + omega**2 * q_t**2) / (2 * omega)
        # 각 변수 φ
        phi_t = np.arctan2(omega * q_t, p_t)
        
        # J 가 시간 무관임 (보존)
        # φ 가 균일 회전 (속도 = ω)
        print(f"    초기 (q, p) = ({q0:+.3f}, {p0:+.3f}):")
        print(f"      J 평균 = {J_t.mean():.4f}, 변동 = {np.ptp(J_t):.2e}")
        print(f"      φ̇ (수치) ≈ {(np.unwrap(phi_t)[-1] - phi_t[0]) / (ts[-1] - ts[0]):.4f}  (= ω = {omega})")
    print()

print("→ 작용 J 가 *완전 보존*, 각 φ 가 *균일 회전*.")
print("  위상공간이 J × S¹ 의 곱으로 깔끔히 분해 — Liouville-Arnold 정리.")

# 리우빌 측도의 보존: J × φ 측도가 q × p 측도와 같음
# 정준 변환의 자코비안이 1 (항등)
print(f"\n정준 변환의 자코비안: |∂(J, φ)/∂(q, p)| = 1")
print(f"  → 측도 보존 (리우빌의 위상공간 부피 보존)")
print(f"  → §4.4.4 의 결과가 *적분 가능 시스템에서 자명*")

이 결과는 책의 시작과 끝의 통합 — §4.4.4 의 리우빌 (체적 보존) 이 §5.5.4 의 적분 가능 시스템에서 자명 함을 직접 본다. 모든 어휘가 한 깊은 구조의 다른 시점.

다음으로 나아가며

해석역학 I 의 §5.5 가 정준 불변식 의 완전한 가족 을 박았다 — 적분 불변식·라그랑주 괄호·사교적·리우빌. 이것들이 심플렉틱 기하학 의 네 언어.

KAM 정리, 해밀턴-야코비식, 섭동 이론, 연속체 역학이 기다리고 있다.

본권 해석역학 I 본문 해설 의 마무리

§1 의 다양체·미분형식 → §2 의 라그랑주 형식 → §3 의 변분 원리 → §4 의 해밀턴 형식 + 동력학 시스템 → §5 의 정준 변환과 정준 불변식.

104 절을 거쳐, 모든 도구 — 다양체, 텐서, 외적, 외미분, 스토크스, 라그랑주 식, 노에터 정리, 해밀턴 식, 심플렉틱 형식, 정준 변환, 작용-각 변수 — 가 한 깊은 구조 (심플렉틱 기하학) 의 다른 시점 임을 봤다.

해석역학 II 가 작성된다면, 그 출발점은:

• 해밀턴-야코비식 + 해밀턴 주함수
• 적분 가능 시스템과 KAM 정리
• 섭동 이론 — 적분 가능 + 작은 perturbation
• 연속체 역학과 장 이론 — 무한 자유도로의 일반화
• 상대론적 역학 — 시공간 위의 변분 원리

본권의 모든 어휘가 그 자연스러운 다음 단계로 직접 옮겨진다. 해석역학 이 고전 역학의 끝 이 아니라 현대 물리의 모든 영역 (양자역학·일반상대론·게이지 이론·통계역학) 의 공통 어휘 라는 사실 — 이 본문 해설의 마지막 결론.