5.4.4 — 정준 변환군: $Sp(2n, \mathbb R)$ 의 Lie 군 구조

정준 변환의 합성과 역연산이 군 구조 를 이룬다 — 심플렉틱 군 $Sp(2n, \mathbb R)$. 그 Lie 대수의 원소가 해밀턴 함수. 해밀턴 흐름이 1-매개변수 부분군. 양자역학의 Heisenberg 군 의 고전 정체.

본문이 말하는 것

정준 변환의 군 구조. 두 정준 변환 $\Phi_1, \Phi_2$ 에 대해:

• 합성: $\Phi_1 \circ \Phi_2$ 가 정준 (자코비안이 곱셈으로 합성, 심플렉틱 군의 곱셈).
• 역: $\Phi^{-1}$ 가 정준 ($J^{-1}$ 도 심플렉틱).
• 항등: $\mathrm{id}$ 가 정준 (자명).

즉 정준 변환 전체가 Lie 군 — 심플렉틱 군 $Sp(2n, \mathbb R)$ (의 Lie 대수 가 해밀턴 벡터장의 공간).

Lie 대수. 무한소 정준 변환 $\Phi_\varepsilon = \mathrm{id} + \varepsilon \cdot v + O(\varepsilon^2)$ 에서 생성자 $v$ 가 해밀턴 벡터장 — 즉 어떤 함수 $f$ 에 의해 $v = X_f$. 함수 $f$ 가 무한소 정준 변환의 매개변수.

Lie 괄호: $[X_f, X_g] = -X_{\{f, g\}}$ (§4.2.3 회수). 즉 함수의 포아송 괄호가 벡터장의 Lie 괄호의 역상.

해밀턴 흐름 = 1-매개변수 부분군. 해밀토니언 $H$ 가 만드는 흐름 $\phi_t^H$ 가 연속적인 정준 변환의 가족 — 매개변수 $t$ 의 1-매개변수 부분군.

$$\phi_t^H \circ \phi_s^H = \phi_{t+s}^H \quad (t, s \in \mathbb R)$$

해밀턴 흐름은 심플렉틱 군의 1-매개 흐름. 생성자 가 해밀토니언 $H$.

한 번 더, 천천히

(1) 심플렉틱 군 $Sp(2n, \mathbb R)$ 의 크기. 차원 $n(2n+1)$ — 조화 회전군 $O(2n)$ ($n(2n-1)$) 보다 크다. 1자유도 ($n=1$): $Sp(2, \mathbb R) = SL(2, \mathbb R)$ — 면적·방향 보존 행렬.

(2) Lie 대수 $\mathfrak{sp}(2n, \mathbb R)$. $A^T \Omega + \Omega A = 0$ 을 만족하는 $2n \times 2n$ 행렬들. 차원 $n(2n+1)$. 해밀턴 행렬 이라 부름 (§4.4.1 회수).

(3) 함수 → 벡터장 → 군 원소 의 연결 사슬.

$$\boxed{C^\infty(T^*M) \xrightarrow{f \mapsto X_f} \mathfrak X(T^*M) \xrightarrow{X \mapsto \exp(X)} \text{Diff}(T^*M)}$$

해밀턴 함수 → 해밀턴 벡터장 → 정준 변환의 1-매개 부분군. 각 단계가 Lie 군과 Lie 대수의 자연 대응.

(4) Heisenberg 군 과의 대응. 양자역학의 Heisenberg 군 (위치·운동량·플랑크 상수의 비가환 군) 이 *심플렉틱 군의 유한 표현. 즉 고전 정준 변환의 양자판. 양자장 이론의 Bogoliubov 변환 도 심플렉틱 군의 유사 표현.

(5) §1.4.10 의 리 군·리 대수 결과의 적용. 본 절의 모든 구조 (군 곱셈, Lie 대수, 지수 사상) 가 §1.4.10 의 일반 이론 의 직접 응용. 심플렉틱 군이 매끄러운 다양체이자 군 — 리 군의 정확한 표본.

(6) 측정 이론과 통계역학. 정준 변환이 위상공간 측도 보존 (§4.4.4 의 Liouville). 그래서 통계역학의 측도가 정준 불변 — Gibbs 정규 앙상블 의 정의가 심플렉틱 군에 대한 불변량.

다음 절(5.5.1)로 가는 다리

§5.4 까지 정준 변환의 정의·조건·군 구조 를 완성했다. §5.5 가 정준 불변식 — 정준 변환에서 불변 인 모든 양 의 분류. 적분 불변식 (재차), 라그랑주 괄호, 사교적, 그리고 §4.4.4 의 리우빌 정리의 재논의. 본권 해석역학 I 의 마지막 한 큰절.