1.4.1 — 미분가능 다양체: 좌표를 국소적 으로만 깐 공간

$\mathbb R^3$ 안에 박힌 곡면이 아닌, 그 자체로 다뤄지는 굽은 공간 — 다양체. 한 점 근방을 $\mathbb R^n$ 의 열린집합 으로 매핑하는 차트들의 모임, 그리고 그것들이 매끄럽게 호환된다는 조건만이 다양체의 정체.

본문이 말하는 것

원서 1.4.1 절은 다양체를 다음과 같이 정의한다. 집합 $M$ 이 $n$ 차원 미분가능 다양체 (smooth manifold) 라는 것은:

(a) 위상 구조 — $M$ 이 Hausdorff 위상공간 (모든 두 점이 분리된 열린집합으로 떨어진다).

(b) 차트 (chart) — $M$ 의 열린덮개 $\{U_\alpha\}$ 와, 각 $U_\alpha$ 에서 $\mathbb R^n$ 의 열린집합 $V_\alpha$ 로의 동형사상 $\phi_\alpha : U_\alpha \to V_\alpha$.

(c) 매끄러운 호환 — 두 차트의 교집합 $U_\alpha \cap U_\beta$ 가 비지 않으면, 전이함수 (transition function)

$$\phi_\beta \circ \phi_\alpha^{-1} : \phi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \to \phi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)$$

가 $\mathbb R^n$ 의 두 열린집합 사이의 $C^\infty$ 함수.

(b) 와 (c) 가 만족된 차트의 모임이 아틀라스 (atlas), 극대 아틀라스 가 $M$ 의 매끄러운 구조 다.

$n$ 은 $M$ 의 차원. 각 차트 $\phi_\alpha$ 가 점 $p \in U_\alpha$ 에 $n$ 개의 실수 $(x^1, \dots, x^n)$ 를 부여하는데, 이게 국소 좌표 다. 다양체에는 전역 좌표가 일반적으로 없다 — 그래서 국소 좌표라는 단서가 본질적이다.

한 번 더, 천천히

도해를 그려 두면 — 구면 $S^2$ 가 가장 친숙한 비자명 예다.

$S^2$ 의 두 차트. 북극을 빼고 stereographic projection 으로 $\mathbb R^2$ 에 매핑하는 차트 $\phi_N : S^2 \setminus \{N\} \to \mathbb R^2$, 남극을 빼고 같은 식으로 매핑하는 $\phi_S : S^2 \setminus \{S\} \to \mathbb R^2$. 두 차트의 합집합이 $S^2$ 전체를 덮는다. 교집합 (= $S^2$ 의 두 극을 뺀 나머지) 위의 전이함수는 $(u, v) \mapsto (u, v) / (u^2 + v^2)$ — 이게 $C^\infty$. 그래서 $S^2$ 가 2 차원 매끄러운 다양체.

평면이 아닌 곳도 환영. 토러스 $T^2$, 리만 곡면, 회전군 $SO(3)$, 위상 군 등 모두 다양체. 핵심은 전역 평면 좌표 시스템이 없어도 — 점마다 국소적 으로 평면 좌표가 깔리면 — 미적분이 통한다는 점.

1.2 와의 결정적 차이. §1.2 의 곡면은 $\mathbb R^3$ 안에 박힌 (embedded) 객체로 정의됐다 — 메트릭이 임베딩의 부산물. §1.4 의 다양체는 임베딩 없이 정의된다. 메트릭이 부산물 이 아닌 추가 구조 — §1.6 의 리만 계량으로 따로 박힌다. 이 분리가 일반상대론·게이지 이론의 추상적 기하 로 가는 길을 연다.

왜 매끄러운 호환이 필요한가. 두 차트에서 같은 점의 좌표 $(x^1, \dots, x^n)$ 과 $(x'^1, \dots, x'^n)$ 가 있을 때, 함수 $f : M \to \mathbb R$ 의 미분 $\partial f / \partial x^i$ 와 $\partial f / \partial x'^j$ 둘 다 잘 정의되어야 다양체 위의 미적분 이 일관된다. 그 일관성을 보장하는 것이 전이함수의 $C^\infty$ 조건. 국소 좌표는 임의이지만, 그 사이의 변환이 매끄러우면 충분.

다음 절(1.4.2)로 가는 다리

다양체의 정의는 공간 만 박은 것. 그 위에 사는 함수 — 다양체 위 한 점에 실수를 부여하는 매핑 — 와 곡선 — 시간 매개변수로 다양체를 흐르는 경로 — 의 매끄러움을 어떻게 정의할까? 답은 국소 좌표를 통해 다. 1.4.2 는 그 정의를 박는다.