4.2.2 — 정준 방정식의 좌표 무관 표현: $\iota_{X_H} \omega = dH$ 의 한 줄

해밀턴 벡터장 $X_H$ 가 $\iota_{X_H} \omega = dH$ 의 유일한 해. 비퇴화 $\omega$ 가 1-형식과 벡터장 사이의 동형 — 이게 정준 방정식의 좌표 자유 정체.

본문이 말하는 것

심플렉틱 다양체 $(P, \omega)$ 와 해밀토니언 $H : P \to \mathbb R$ 이 주어졌다 하자. $\omega$ 가 비퇴화 (§4.2.1) — 즉 각 점에서 벡터장 → 1-형식 사상

$$X \mapsto \iota_X \omega$$

이 전단사 (위상공간 위 벡터장과 1-형식 사이의 동형). 그 역사상으로 임의의 1-형식 $\alpha$ 가 유일한 벡터장 $X$ 에 대응:

$$\iota_X \omega = \alpha$$

특히 $\alpha = dH$ ($H$ 의 미분) 을 대입하면 유일한 벡터장 $X_H$:

$$\boxed{\quad \iota_{X_H}\, \omega = dH \quad}$$

이 $X_H$ 가 해밀턴 벡터장 (Hamiltonian vector field, §4.2.3). 위상공간의 운동이 $X_H$ 의 적분곡선.

좌표 표현. Darboux 좌표 $(q^\alpha, p_\alpha)$ 에서 $\omega = dq^\alpha \wedge dp_\alpha$, $dH = (\partial H/\partial q^\alpha) dq^\alpha + (\partial H/\partial p_\alpha) dp_\alpha$. $X_H = A^\alpha \partial/\partial q^\alpha + B_\alpha \partial/\partial p_\alpha$ 로 적으면

$$\iota_{X_H} \omega = A^\alpha dp_\alpha - B_\alpha dq^\alpha$$

(부호는 외적의 정의에 따라). 양변 비교:

$$A^\alpha = \frac{\partial H}{\partial p_\alpha},\quad B_\alpha = -\frac{\partial H}{\partial q^\alpha}$$

— 정준 방정식 (§4.1.2). 즉 $\iota_{X_H} \omega = dH$ 의 좌표 표현이 정확히 정준 방정식.

한 번 더, 천천히

도해 설명 — 좌표 자유 형식의 위력.

(a) “좌표 자유” 의 실용적 의미. 좌표를 바꿔도 $\iota_{X_H} \omega = dH$ 라는 식의 형태 가 그대로. 정준 변환 (§5) 에서 변환된 새 좌표 $(Q, P)$ 에 대해서도 같은 형식. 심플렉틱 형식만 보존되면 운동의 표현이 자동 일관.

(b) Darboux 정리의 역할. §4.2.1 의 Darboux 정리가 어떤 심플렉틱 다양체에서도 $(q, p)$ 형식의 좌표가 국소적으로 존재 함을 보장. 그래서 정준 방정식이 모든 심플렉틱 시스템 에서 동일 형식.

(c) 비-$T^*M$ 시스템의 예. 구면 $S^2$ 위의 회전체 운동 — 자유도 2 (위도·경도) 의 비-$T^*M$ 심플렉틱 다양체 위에 정의. 해밀토니언 = 회전 운동에너지. Euler 식의 심플렉틱 정체 — 본 절의 좌표 자유 형식 으로 자연스럽게 다뤄진다.

(d) 1-형식 ↔ 벡터장 동형. 비퇴화 $\omega$ 가 공역 (cotangent) 과 접 (tangent) 사이의 자연 동형. 리만 계량 (대칭) 이 같은 일을 한다면 — 인덱스 올리기·내리기. 심플렉틱 (반대칭) 도 비퇴화 이면 같은 일이 가능. 수학적 도구의 평행 관계.

(e) §1.6.5 의 외미분 회수. $dH$ 가 함수의 미분 — §1.6.1 의 자연스러운 1-형식. $\iota_X \omega$ 가 내부 곱 (§3.1.4 회수). 두 연산이 심플렉틱 무대 위에서 자연스럽게 짝지어진다.

(f) 양자역학과의 연결. 양자역학의 시간 진화는 $i\hbar \partial \psi / \partial t = \hat H \psi$ — 작용소 형식. 고전 한계의 해밀턴 벡터장 $X_H$ 와 양자 해밀톤 작용소 $\hat H$ 의 평행 관계. Weyl 양자화 가 두 무대 사이의 정밀한 다리.

다음 절(4.2.3)로 가는 다리

$X_H$ 의 정의 ($\iota_{X_H} \omega = dH$) 가 박혔다. 이제 그 벡터장 자체의 성질 — 적분곡선, 보존량, 두 해밀턴 벡터장의 Lie 괄호 (= Poisson 괄호) — 를 §4.2.3 에서 본격적으로 다룬다.