5.2.4 — 제1적분과 자유도의 삭감: 위상공간 시점의 환원

위상공간의 제1적분 (포아송 괄호 $\{f, H\} = 0$) 을 이용해 운동을 낮은 차원의 시스템 으로 환원. §2.2.5 의 Routhian 의 위상공간 형식. 작용-각 변수의 씨앗.

본문이 말하는 것

§4.2.3 에서 제1적분 $f$ 의 정체: $\{f, H\} = 0$. 그 결과 $f(q, p, t) = C$ (상수) 가 운동 곡선이 머무는 부분다양체.

자유도 1 감소.

• 원래 위상공간 $T^*M$ ($\dim = 2n$).
• 제1적분 $f$ 의 등고면 $\Sigma_C = f^{-1}(C)$ — $(2n-1)$ 차원.
• 카르탕 원리 가 $\Sigma_C$ 위로 환원된 해밀턴 흐름 을 정의. 단, $\Sigma_C$ 자체는 심플렉틱이 아닌 contact 구조 — 한 차원 더 줄여야 한다.

완전한 환원. $f$ 의 흐름 $\phi^f_s$ — $f$ 가 만드는 해밀턴 흐름 — 의 불변 quotient. 두 점 $x_1, x_2 \in \Sigma_C$ 가 같은 $f$-흐름 위 라면 동일시. 결과: $\dim = 2n - 2 = 2(n-1)$ 의 환원 위상공간 (Marsden–Weinstein quotient).

즉 제1적분 한 개 → 자유도 한 개 감소 (위상공간 차원 2 감소).

다중 제1적분. $f_1, \dots, f_k$ 가 대합 (involution) — 서로 포아송 괄호 = 0 — 이라면 자유도가 $k$ 만큼 감소. $n$ 자유도에 $n$ 개 대합 제1적분 → 완전 적분 가능.

Liouville–Arnold 정리 (적분 가능 시스템의 정밀화). 완전 적분 가능 ($n$ 개 대합 제1적분) 이고 공통 등고면이 콤팩트 → 위상공간이 환의 곱 $T^n = (S^1)^n$ 으로 foliated. 운동은 각 환 위의 균일 운동.

한 번 더, 천천히

(1) §2.2.5 Routhian 회수. §2.2.5 의 Routhian 이 순환 좌표의 보존 운동량 을 사용한 환원. 본 절은 임의의 제1적분 으로 일반화 — 순환 좌표가 특별 경우.

(2) 케플러 운동의 완전 적분 가능성. 케플러 (3D 중심력) 의 자유도 3 → 위상공간 6 차원. 보존량: 에너지 $E$, 각운동량 벡터 $\mathbf{L}$ (3 성분 — 단, 서로 비대합), Laplace–Runge–Lenz 벡터 $\mathbf{A}$ (3 성분, 일부 독립). 적합한 독립 대합 보존량 3 개 → 완전 적분 가능. 케플러 궤도가 닫혀 있음 의 깊은 이유.

(3) Toda 사슬·KdV 방정식. 비-자명한 적분 가능 시스템 의 예. 무한 개의 보존량을 가져 모든 자유도가 풀린다. 카오스의 완전한 반대.

(4) 작용-각 변수 (action-angle). Liouville–Arnold 의 환은 각 변수 $\phi_i \in S^1$ ($i = 1, \dots, n$). 그 켤레 작용 변수 $J_i = \frac{1}{2\pi} \oint_{C_i} p\, dq$ — 적분 불변식 (§5.2.2). 해밀토니언이 $H(J) =$ 함수 (각 변수 무관) → 운동이 균일 회전 $\dot\phi_i = \partial H/\partial J_i = \omega_i$.

(5) KAM 정리로의 다리. 적분 가능 시스템에 작은 비-적분 가능 perturbation 을 더하면 — 대부분의 환이 살아남음 (KAM). 일부는 깨져 카오스 발생. 해석역학 II 의 핵심 주제.

파이썬으로 확인 — 케플러 운동의 환원 시각화

이 코드의 메시지는 단순하다: 케플러 운동 (2D 중심력) 에서 각운동량 $L_z$ 와 에너지 $E$ 가 모두 제1적분. 이 두 보존량으로 운동을 반지름 1차원 시스템 으로 환원하는 모습을 본다.

# 케플러 운동 (2D): H = (1/2)(p_x² + p_y²) - 1/√(x²+y²)
# 보존량: H = E, L_z = x p_y - y p_x
# 두 제1적분이 *대합* ({L_z, H} = 0 — 회전 대칭) → 4D → 2D 환원
# 환원된 시스템: 반지름 r 의 1D 운동, 유효 위치에너지 V_eff(r) = -1/r + L²/(2r²)
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

def kepler_2d(t, y):
    x, y_pos, px, py = y
    r2 = x**2 + y_pos**2
    r3 = r2 ** 1.5
    return [px, py, -x / r3, -y_pos / r3]

# 초기조건: 원운동 (r=1, v=1, 즉 L_z=1, E=-0.5)
y0 = [1.0, 0.0, 0.0, 1.0]
sol = solve_ivp(kepler_2d, (0, 20.0), y0, rtol=1e-10, atol=1e-12, dense_output=True)

ts = np.linspace(0, 20, 500)
x, y_p, px, py = sol.sol(ts)
r = np.sqrt(x**2 + y_p**2)

# 보존량 추적
E = 0.5 * (px**2 + py**2) - 1.0 / r
L = x * py - y_p * px

print(f"케플러 운동의 두 제1적분 검증:")
print(f"  E (에너지) 변동폭: {np.ptp(E):.2e}")
print(f"  L_z (각운동량) 변동폭: {np.ptp(L):.2e}")
print(f"  → 둘 다 *기계 엡실론* 수준 보존 — 완전 적분 가능 시스템")

# 환원된 1D 시스템: r(t) 만 추출, V_eff 와 비교
L_val = L[0]
V_eff = -1.0 / r + L_val**2 / (2 * r**2)
KE_r = 0.5 * (np.gradient(r, ts)) ** 2
E_radial = KE_r + V_eff

print(f"\n환원된 1D 시스템 (r 만):")
print(f"  r 의 범위: [{r.min():.4f}, {r.max():.4f}]")
print(f"  유효 에너지 변동폭: {np.ptp(E_radial):.4f}")
print(f"  (원래 E 와 일치해야 함: {E[0]:.4f})")
print(f"\n→ 2D (4 차원 위상) → 1D (2 차원 위상) 의 환원이 작용.")

이 결과는 제1적분 둘 (대합) → 자유도 둘 감소 의 직접 구현. 케플러 운동이 완전 적분 가능 인 까닭이 충분한 보존량.

다음 절(5.3.1)로 가는 다리

지금까지의 어휘 (워이스 원리, 적분 불변식, 카르탕 원리, 자유도 삭감) 가 해밀턴 시스템 자체 의 분석. 다음 §5.3 부터는 위상공간의 변환 — 정준 변환 — 으로 시야 확장. 적분 불변식이 정준 변환의 정의 의 핵심 도구로 다시 등장한다.