5.3.1 — 정준 변환: 해밀턴 형식을 보존 하는 위상공간 변환

$(q, p) \to (Q, P)$ 변환이 정준 방정식의 형식 을 보존하면 정준 변환. 동치적: 카르탕의 적분 불변식 $\oint p dq = \oint P dQ$ 를 보존. 라그랑주 형식의 점 변환을 훨씬 큰 군 으로 확장.

본문이 말하는 것

정준 변환 (canonical transformation) 의 정의: 위상공간의 매끄러운 사상

\Phi : T^*M \to T^*M,\quad (q, p) \mapsto (Q, P) = \Phi(q, p)

이 정준 방정식의 형식을 보존. 즉 임의의 해밀토니언 $H(q, p, t)$ 에 대해, 새 좌표 $(Q, P)$ 에서도 어떤 새 해밀토니언 $K(Q, P, t)$ 가 있어 정준 방정식

\dot Q^\alpha = \frac{\partial K}{\partial P_\alpha}, \quad \dot P_\alpha = -\frac{\partial K}{\partial Q^\alpha}

이 성립한다.

동치 조건 (카르탕 형식). $\Phi$ 가 정준 변환 ↔ 위상공간 닫힌 곡선 의 적분 불변식 보존:

\oint_C p_\alpha\, dq^\alpha = \oint_{\Phi(C)} P_\alpha\, dQ^\alpha

즉 $\Phi^* (P\, dQ) - p\, dq = dF$ (어떤 함수 $F$ 의 전미분 — 닫힌 곡선 위 적분에서 0).

왜 훨씬 큰 군인가. 라그랑주 형식의 점 변환 $q \to Q(q, t)$ — $n$ 개 자유 함수. 정준 변환 $(q, p) \to (Q(q, p, t), P(q, p, t))$ — $2n$ 개 자유 함수 + 심플렉틱 제약 = $n^2$ 함수만큼 자유. 제곱 만큼 확장.

예시.

항등 변환: $Q = q$ , $P = p$ .
점 변환 (라그랑주 형식 의 변환): $Q = Q(q, t)$ , $P = (\partial Q/\partial q)^{-T} p$ .
$q \leftrightarrow p$ 교환: $Q = p$ , $P = -q$ . 정준 — 위치와 운동량의 역할 교환.
조화 진동자 의 작용-각 변수: $(q, p) \to (J, \phi)$ — 진동을 균일 회전 으로 변환.

한 번 더, 천천히

(1) “정준” 변환의 기하학적 정체. 심플렉틱 사상 — $\Phi^* \omega = \omega$ , 즉 심플렉틱 2-형식을 보존. §5.4 에서 형식적으로 박힘.

(2) 동력학적 의미. 정준 변환은 해밀턴 흐름의 시점을 바꾸는 도구. 복잡한 시스템 을 단순한 시스템 으로 변환 (예: 조화 진동자 → 작용-각 변수 → 균일 회전). 운동을 명시적으로 풀기 위한 변수 변환.

(3) 위상공간의 대칭성 의 결과. 위상공간 $(q, p)$ 에서 위치와 운동량의 역할 교환 이 정준 변환 — 라그랑주 형식에서는 불가능 (점 변환 한정). 해밀턴 형식의 대칭성 의 실질적 결과.

(4) 해밀턴-야코비식 (HJ) 와의 연결. 주어진 해밀토니언을 0 으로 만드는 정준 변환을 찾으면 → 새 좌표 $(Q, P)$ 가 모두 상수 — 운동이 완전 해결. HJ 식 $\partial S/\partial t + H(q, \partial S/\partial q, t) = 0$ 의 해 $S(q, P, t)$ 가 정확히 그 변환의 생성 함수.

(5) §5.4 와의 다리. 어떤 변환이 정준 변환인가 의 정밀한 조건 — 심플렉틱 조건 — 이 §5.4 의 주제. 행렬 형식 $J^T \Omega J = \Omega$ ( $J$ = 자코비안, $\Omega$ = 심플렉틱 형식의 행렬 표현).

파이썬으로 확인 — 회전 변환의 정준성 검증

이 코드의 메시지는 단순하다: $(q, p)$ 의 회전 변환 $Q = q\cos\alpha + p\sin\alpha$ , $P = -q\sin\alpha + p\cos\alpha$ 가 정준 변환임을 직접 검증. 심플렉틱 보존 ( $\Phi^* \omega = \omega$ ) 을 자코비안 행렬로 확인.

# 회전 변환: (q, p) → (Q, P)
#   Q = q cos α + p sin α
#   P = -q sin α + p cos α
# 자코비안 행렬 J = ∂(Q, P)/∂(q, p)
# 심플렉틱 조건: J^T Ω J = Ω, where Ω = [[0, 1], [-1, 0]]
import numpy as np

alpha = np.pi / 3  # 임의의 회전 각도

J = np.array([[np.cos(alpha), np.sin(alpha)],
              [-np.sin(alpha), np.cos(alpha)]])

Omega = np.array([[0.0, 1.0],
                  [-1.0, 0.0]])

# 심플렉틱 조건 검증
result = J.T @ Omega @ J
print(f"회전 각도 α = π/3 = {alpha:.4f}")
print(f"자코비안 J =\n{J}")
print(f"\nJ^T Ω J =\n{result}")
print(f"\nΩ =\n{Omega}")
print(f"\n차이 ||J^T Ω J - Ω||: {np.linalg.norm(result - Omega):.2e}")
print(f"  → 심플렉틱 조건 만족 (회전 변환은 정준 변환)")

# 비교: 스케일 변환 Q = aq, P = ap (비심플렉틱)
a = 2.0
J_scale = np.array([[a, 0.0],
                    [0.0, a]])
result_scale = J_scale.T @ Omega @ J_scale
print(f"\n비교: 스케일 변환 Q=aq, P=ap (a={a}):")
print(f"  J^T Ω J - Ω 의 norm: {np.linalg.norm(result_scale - Omega):.4f}")
print(f"  → 비-심플렉틱 — *정준 변환이 아니다*")

# 그러나 *반대 스케일* Q = a q, P = p/a 는 심플렉틱
J_scale_correct = np.array([[a, 0.0],
                             [0.0, 1.0/a]])
result_correct = J_scale_correct.T @ Omega @ J_scale_correct
print(f"\n반대 스케일 Q = a q, P = p/a:")
print(f"  J^T Ω J - Ω 의 norm: {np.linalg.norm(result_correct - Omega):.2e}")
print(f"  → 심플렉틱 — *정준 변환* (작용 보존 변환)")

# 적분 불변식 검증: 닫힌 곡선 위 ∮ p dq 가 변환 전후 같은지
# 단위 원 (q, p) = (cos θ, sin θ), θ ∈ [0, 2π]
thetas = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)
q_orig = np.cos(thetas)
p_orig = np.sin(thetas)

# 변환 (회전)
Q_new = q_orig * np.cos(alpha) + p_orig * np.sin(alpha)
P_new = -q_orig * np.sin(alpha) + p_orig * np.cos(alpha)

# 적분 (사다리꼴 공식)
def closed_loop_integral(q, p):
    dq = np.diff(q, append=q[0])
    return np.sum((p + np.roll(p, -1)) / 2 * dq)

I_orig = closed_loop_integral(q_orig, p_orig)
I_new = closed_loop_integral(Q_new, P_new)
print(f"\n적분 불변식 검증:")
print(f"  ∮ p dq (변환 전): {I_orig:.6f}  (≈ π — 단위원 면적)")
print(f"  ∮ P dQ (변환 후): {I_new:.6f}  (=같은 값 기대)")
print(f"  차이: {abs(I_orig - I_new):.2e}  → 적분 보존 (정준 변환의 정의)")

이 결과는 회전 변환이 (a) 심플렉틱 조건 $J^T \Omega J = \Omega$ 를 정확히 만족, (b) 적분 불변식 을 보존 — 정준 변환의 정의 를 두 동치 시점에서 확인한다.

다음 절(5.3.2)로 가는 다리

정준 변환의 조직적 생성 방법 — 생성 함수 (generating function). 임의의 매끄러운 함수 $F$ 에서 정준 변환이 자동으로 생성. 4 가지 표준 형식 ( $F_1, F_2, F_3, F_4$ ) 가 있고, 각각 다른 의존 변수 를 사용. §5.3.2 가 이 형식의 체계적 분류 와 대표 예시.