5.3.2 — 변환의 생성 함수: 4 가지 형식 F1,F2,F3,F4F_1, F_2, F_3, F_4 의 체계

함수 FF 의 부분 미분 으로 정준 변환을 자동 생성. F1(q,Q)F_1(q, Q), F2(q,P)F_2(q, P), F3(p,Q)F_3(p, Q), F4(p,P)F_4(p, P) — 어떤 두 변수 를 독립으로 잡는가에 따라 4 가지. 항등·교환·작용-각 변수 등이 표준 예시.

본문이 말하는 것

§5.3.1 의 정준 변환 조건

Φ∗(Pα dQα)−pα dqα=dF\Phi^*(P_\alpha\, dQ^\alpha) - p_\alpha\, dq^\alpha = dF

(닫힌 적분 → 정확함, §1.6.6) 에서 FF 가 변환의 생성 함수 (generating function, 모함수). (q,p)(q, p) 와 (Q,P)(Q, P) 가 4 자유 변수 인데 2n 자유 (정준 변환의 자유도) — 그래서 2 개의 변수 만 독립 으로 잡을 수 있다. 4 가지 조합:

Type 1: F1(q,Q,t)F_1(q, Q, t).

pα=∂F1∂qα,Pα=−∂F1∂Qα,K=H+∂F1∂tp_\alpha = \frac{\partial F_1}{\partial q^\alpha},\quad P_\alpha = -\frac{\partial F_1}{\partial Q^\alpha},\quad K = H + \frac{\partial F_1}{\partial t}

Type 2: F2(q,P,t)=F1+PαQαF_2(q, P, t) = F_1 + P_\alpha Q^\alpha.

pα=∂F2∂qα,Qα=∂F2∂Pα,K=H+∂F2∂tp_\alpha = \frac{\partial F_2}{\partial q^\alpha},\quad Q^\alpha = \frac{\partial F_2}{\partial P_\alpha},\quad K = H + \frac{\partial F_2}{\partial t}

Type 3: F3(p,Q,t)=F1−pαqαF_3(p, Q, t) = F_1 - p_\alpha q^\alpha.

qα=−∂F3∂pα,Pα=−∂F3∂Qαq^\alpha = -\frac{\partial F_3}{\partial p_\alpha},\quad P_\alpha = -\frac{\partial F_3}{\partial Q^\alpha}

Type 4: F4(p,P,t)=F2−pαqαF_4(p, P, t) = F_2 - p_\alpha q^\alpha.

qα=−∂F4∂pα,Qα=∂F4∂Pαq^\alpha = -\frac{\partial F_4}{\partial p_\alpha},\quad Q^\alpha = \frac{\partial F_4}{\partial P_\alpha}

대표 예시.

  • F2=qαPαF_2 = q^\alpha P_\alpha (Type 2): pα=Pαp_\alpha = P_\alpha, Qα=qαQ^\alpha = q^\alpha — 항등 변환.
  • F1=qαQαF_1 = q^\alpha Q_\alpha (Type 1): pα=Qαp_\alpha = Q_\alpha, Pα=−qαP_\alpha = -q^\alpha — q↔pq \leftrightarrow p 교환 (부호 차이).
  • F2=(q+P)2/2F_2 = (q + P)^2/2 (Type 2): p=q+Pp = q + P, Q=q+PQ = q + P — 평행이동·전단 의 결합.

한 번 더, 천천히

(1) “왜 4 가지” 의 기하학. (q,p,Q,P)(q, p, Q, P) 의 4 변수 중 2 독립 자유. 접번들·여접번들 의 부분공간 4 가지 — 각각이 Lagrangian submanifold (심플렉틱 기하학). 본 절의 4 형식이 그 4 부분공간의 생성 함수.

(2) 르장드르 변환 (§5.1.2) 의 자연스러운 확장. F1→F2F_1 \to F_2 의 변환 F2=F1+PQF_2 = F_1 + PQ 가 르장드르 변환 — Q↔PQ \leftrightarrow P 의 역할 교환. 즉 4 형식이 르장드르 변환의 가족. 열역학의 U,F,H,GU, F, H, G 의 4 함수와 완전히 같은 형식.

(3) 조화 진동자의 작용-각 변수. H=(p2+ω2q2)/2H = (p^2 + \omega^2 q^2)/2. Type 1 생성 함수 F1(q,Q)=12ωq2cot⁡QF_1(q, Q) = \frac{1}{2}\omega q^2 \cot Q 로 변환 (q,p)→(Q,P)=(ϕ,J)(q, p) \to (Q, P) = (\phi, J):

J=p2+ω2q22ω=Hω,ϕ=arctan⁡(ωq/p)J = \frac{p^2 + \omega^2 q^2}{2\omega} = \frac{H}{\omega},\quad \phi = \arctan(\omega q / p)

새 해밀토니언 K=ωJK = \omega J — JJ 만의 함수. 정준 방정식: J˙=0\dot J = 0, ϕ˙=ω\dot \phi = \omega. 완전히 풀린다.

(4) HJ 식의 생성 함수 정체. Hamilton 의 주함수 S(q,P,t)S(q, P, t) 가 Type 2 생성 함수. HJ 식 ∂S/∂t+H(q,∂S/∂q,t)=0\partial S/\partial t + H(q, \partial S/\partial q, t) = 0 의 의미: 새 해밀토니언 K=0K = 0 — 변환된 좌표에서 운동이 정지 — 따라서 Q,PQ, P 가 시간 상수 (초기 위치·운동량 의 역할). 운동의 완전 해결.

(5) §5.4 의 정준 변환군과의 다리. 생성 함수 가족이 연결된 정준 변환 군 의 Lie 대수 같은 매개화. 모든 작은 정준 변환이 적당한 FF 로 표현된다 — 국소적 완전 매개화.

(6) 양자역학의 유니타리 변환. U^(F)\hat U(F) — 생성 함수 FF 에 의해 결정되는 유니타리 변환. Glauber 변환, Bogoliubov 변환 등이 정준 변환의 양자판. Wigner 변환 + Moyal 곱 이 이 두 무대의 형식적 다리.

파이썬으로 확인 — 조화 진동자의 작용-각 변수

이 코드의 메시지는 단순하다: 1D 조화 진동자 (q,p)(q, p) 에서 작용-각 변수 (ϕ,J)(\phi, J) 로 변환. 새 해밀토니언이 H=ωJH = \omega J — 각도 ϕ\phi 에 무관. 운동이 각도의 균일 회전.

# 조화 진동자: H = (p² + ω² q²) / 2
# 생성 함수 F_1(q, φ) = (1/2) ω q² cot φ  (Type 1)
# 결과: J = (p² + ω² q²)/(2 ω) = H/ω, φ = arctan(ω q / p)
# 새 해밀토니언 K(J) = ω J — 균일 회전
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

omega = 1.5  # 진동 각속도

# 원 좌표에서의 운동
def harmonic_qp(t, y):
    q, p = y
    return [p, -omega**2 * q]

# 작용-각 변수 변환
def to_action_angle(q, p):
    J = (p**2 + omega**2 * q**2) / (2 * omega)
    phi = np.arctan2(omega * q, p)  # 결정적인 분기로 [-π, π]
    return J, phi

def from_action_angle(J, phi):
    q = np.sqrt(2 * J / omega) * np.sin(phi)
    p = np.sqrt(2 * J * omega) * np.cos(phi)
    return q, p

# 초기조건: q_0 = 1, p_0 = 0
y0 = [1.0, 0.0]
sol = solve_ivp(harmonic_qp, (0, 10.0), y0, rtol=1e-10, atol=1e-12, dense_output=True)
ts = np.linspace(0, 10, 200)
q_t, p_t = sol.sol(ts)

# 작용-각 변수 계산
J_t = (p_t**2 + omega**2 * q_t**2) / (2 * omega)
phi_t = np.arctan2(omega * q_t, p_t)

print(f"조화 진동자, ω = {omega}")
print(f"\n원 좌표 (q, p) 의 시간 변화 — 진동")
print(f"  q(0) = {q_t[0]:.4f}, q(t=5) = {q_t[len(ts)//2]:.4f}, q(t=10) = {q_t[-1]:.4f}")

print(f"\n작용-각 변수 (J, φ) 의 시간 변화:")
print(f"  J 의 평균: {J_t.mean():.6f}, 변동폭: {np.ptp(J_t):.2e}")
print(f"  → J 는 *상수* (= H/ω = {omega/2:.4f})")
# φ 는 [-π, π] 안에서 균일 회전
# unwrap 하여 진짜 각도 측정
phi_unwrapped = np.unwrap(phi_t)
print(f"\n  φ(t) 의 변화율 (수치): {(phi_unwrapped[-1] - phi_unwrapped[0]) / (ts[-1] - ts[0]):.4f}")
print(f"  이론값 ω = {omega:.4f}")
print(f"  → 균일 회전 — 완전 적분된 운동")

이 결과는 조화 진동자가 정준 변환에 의해 완전히 풀린다 는 사실을 직접 확인. 작용-각 변수가 적분 가능 시스템의 표준 좌표 라는 §5.2.4 의 결과의 가장 단순한 표본.

다음 절(5.4.1)로 가는 다리

지금까지의 정준 변환 정의는 적분 불변식의 보존 또는 생성 함수 의 존재. §5.4 가 더 정밀한 심플렉틱 조건 — 자코비안 행렬 의 대수적 조건 — 으로 변환의 정준성을 국소적으로 검증하는 방법을 박는다.