5.4.1 — 심플렉틱 조건: 자코비안의 대수적 정준 조건

변환 (q,p)→(Q,P)(q, p) \to (Q, P) 의 자코비안 JJ 가 JTΩJ=ΩJ^T \Omega J = \Omega 를 만족하면 정준 변환. 국소적 으로 검증 가능한 대수적 조건. 동치적으로 포아송 괄호 {Qi,Pj}=δji\{Q^i, P_j\} = \delta^i_j.

본문이 말하는 것

위상공간 T∗MT^*M (dim⁡=2n\dim = 2n) 의 변환 Φ:(q,p)↦(Q,P)=Φ(q,p)\Phi : (q, p) \mapsto (Q, P) = \Phi(q, p) 의 자코비안 행렬

J=∂(Q,P)∂(q,p)∈R2n×2nJ = \frac{\partial(Q, P)}{\partial(q, p)} \in \mathbb R^{2n \times 2n}

심플렉틱 조건 (symplectic condition): Φ\Phi 가 정준 변환 ↔

JTΩJ=Ω\boxed{\quad J^T \Omega J = \Omega \quad}

여기서

Ω=(0In−In0)\Omega = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix}

— 심플렉틱 형식의 행렬 표현. 행렬 JJ 가 심플렉틱 행렬 — J∈Sp(2n,R)J \in Sp(2n, \mathbb R) (심플렉틱 군).

동치 조건들.

  • JTΩJ=ΩJ^T \Omega J = \Omega ↔ J−1=−ΩJTΩJ^{-1} = -\Omega J^T \Omega (심플렉틱 역행렬 공식).
  • det⁡J=±1\det J = \pm 1 (사실 항상 +1+1 — 심플렉틱 군은 연결).
  • 포아송 괄호: {Qi,Qj}=0\{Q^i, Q^j\} = 0, {Pi,Pj}=0\{P_i, P_j\} = 0, {Qi,Pj}=δji\{Q^i, P_j\} = \delta^i_j.
  • 심플렉틱 2-형식 보존: Φ∗ω=ω\Phi^* \omega = \omega, 즉 ∑idQi∧dPi=∑idqi∧dpi\sum_i dQ^i \wedge dP_i = \sum_i dq^i \wedge dp_i.

한 번 더, 천천히

(1) 심플렉틱 군 Sp(2n,R)Sp(2n, \mathbb R). 정준 변환의 자코비안들이 군 을 이룬다 — 합성·역연산이 모두 정준성을 보존. 차원은 n(2n+1)n(2n+1). 직교군 O(n)O(n) (n(n−1)/2n(n-1)/2 차원) 보다 훨씬 크다 — 위상공간 변환의 자유도 가 공간 회전 보다 풍부.

(2) 1자유도 (n=1n=1) 의 경우. 2×22 \times 2 자코비안. 심플렉틱 조건이 det⁡J=1\det J = 1 로 환원 (Ω=J\Omega = J 의 한 형식). 즉 1자유도에서 정준 변환 = 면적 보존 변환 (SL(2,R)SL(2, \mathbb R)).

(3) 포아송 괄호의 정준 표준. 정준 변환 후의 새 변수 (Q,P)(Q, P) 가 원래 포아송 괄호와 같은 정준 관계 를 만족 — 위상공간의 기본 대수 구조 보존. 양자역학의 교환 관계 [Q^,P^]=iℏ[\hat Q, \hat P] = i\hbar 가 정확히 이 고전 정준 관계의 양자판.

(4) 무한 차원으로의 연결. 양자장 이론의 Bogoliubov 변환, 끈 이론의 모듈러스 공간 위의 변환 — 모두 무한 차원 심플렉틱 변환. 본 절의 유한 차원 심플렉틱 조건 의 자연 일반화.

(5) §4.2.1 의 Darboux 정리와의 대응. Darboux 정리: 모든 심플렉틱 다양체 의 모든 점은 근방에서 T∗RnT^*\mathbb R^n 과 심플렉틱 동형. 본 절의 심플렉틱 조건 = Darboux 좌표 사이의 변환 이 심플렉틱 군에 속한다.

파이썬으로 확인 — 다양한 변환의 심플렉틱 조건 검증

이 코드의 메시지는 단순하다: 여러 표본 변환 (회전·스케일·전단·작용-각 변수) 의 자코비안 행렬을 계산하고, JTΩJ=ΩJ^T \Omega J = \Omega 를 직접 검증. 정준 변환과 비정준 변환을 구별.

# 다양한 변환의 심플렉틱 조건 검증
import numpy as np

# 심플렉틱 형식의 행렬 (1자유도)
Omega = np.array([[0.0, 1.0],
                  [-1.0, 0.0]])

def is_symplectic(J, tol=1e-10):
    """자코비안 J 가 심플렉틱인가? (1자유도)"""
    diff = J.T @ Omega @ J - Omega
    return np.max(np.abs(diff)) < tol

# 1. 회전 변환: Q = q cos α + p sin α, P = -q sin α + p cos α
alpha = np.pi / 4
J_rotate = np.array([[np.cos(alpha), np.sin(alpha)],
                     [-np.sin(alpha), np.cos(alpha)]])
print(f"1. 회전 변환 (α=π/4): 심플렉틱? {is_symplectic(J_rotate)}")

# 2. 스케일 변환 Q = aq, P = ap (a=2)
a = 2.0
J_scale = np.array([[a, 0],
                    [0, a]])
print(f"2. 스케일 Q=aq, P=ap (a=2): 심플렉틱? {is_symplectic(J_scale)}")
print(f"   J^T Ω J - Ω 의 norm: {np.linalg.norm(J_scale.T @ Omega @ J_scale - Omega):.4f}")

# 3. 반대 스케일 Q = aq, P = p/a
J_scale_inv = np.array([[a, 0],
                         [0, 1/a]])
print(f"3. 반대 스케일 Q=aq, P=p/a: 심플렉틱? {is_symplectic(J_scale_inv)}")

# 4. 전단 변환 Q = q + bp, P = p (b 임의)
b = 0.5
J_shear = np.array([[1, b],
                    [0, 1]])
print(f"4. 전단 Q=q+bp, P=p (b=0.5): 심플렉틱? {is_symplectic(J_shear)}")

# 5. 비정준 변환 Q = q+p, P = q
J_bad = np.array([[1, 1],
                  [1, 0]])
print(f"5. Q=q+p, P=q: 심플렉틱? {is_symplectic(J_bad)}")
print(f"   J^T Ω J - Ω 의 norm: {np.linalg.norm(J_bad.T @ Omega @ J_bad - Omega):.4f}")

# det J 확인
print(f"\n각 자코비안의 det:")
print(f"  회전:        {np.linalg.det(J_rotate):.4f}  (= 1)")
print(f"  스케일:      {np.linalg.det(J_scale):.4f}  (= a² ≠ 1)")
print(f"  반대 스케일: {np.linalg.det(J_scale_inv):.4f}  (= 1)")
print(f"  전단:        {np.linalg.det(J_shear):.4f}  (= 1)")
print(f"  Q=q+p, P=q:  {np.linalg.det(J_bad):.4f}  (= -1)")
print(f"\n→ 심플렉틱 변환은 *항상 det = 1*. det = -1 은 *비정준* (시간 반전 같은 *반정준*).")

이 결과는 심플렉틱 조건 을 다양한 표본에서 수치 검증. 직관적인 변환 (회전·반대 스케일·전단) 이 정준임을 확인.

다음 절(5.4.2)로 가는 다리

심플렉틱 조건은 대수적 정의. 생성 함수 (§5.3.2) 와 심플렉틱 조건 의 동치성 — 즉 모든 정준 변환이 어떤 FF 에서 나온다 — 가 §5.4.2 의 주제. 두 정의의 일치 가 정준 변환 이론의 핵심.