4.3.4 — 선형화 방정식: 평형점에서의 고유값 분석

평형점 x∗x^* 에서 x˙=f(x)\dot x = f(x) 를 1차 Taylor 전개하면 ξ˙=Aξ\dot \xi = A \xi 의 선형 시스템. A=Df(x∗)A = Df(x^*) 의 고유값이 국소 안정성을 결정 — Hartman–Grobman 정리.

본문이 말하는 것

선형화 (linearization). 평형점 x∗x^* 의 근방 x=x∗+ξx = x^* + \xi (ξ\xi 작음) 에서

ξ˙=f(x∗+ξ)=f(x∗)+Df(x∗)ξ+O(∥ξ∥2)=Aξ+O(∥ξ∥2)\dot \xi = f(x^* + \xi) = f(x^*) + Df(x^*) \xi + O(\|\xi\|^2) = A \xi + O(\|\xi\|^2)

여기서 A=Df(x∗)A = Df(x^*) (자코비안 행렬). 1차 항만 두면 선형 시스템

ξ˙=Aξ\dot \xi = A \xi

해는 ξ(t)=eAtξ0\xi(t) = e^{At} \xi_0.

고유값 분류. AA 의 고유값 λi∈C\lambda_i \in \mathbb C (i=1,…,Ni = 1, \dots, N) 에 대해:

  • 모든 Re(λi)<0\text{Re}(\lambda_i) < 0: 평형점이 점근 안정 (모든 방향에서 수축).
  • 어떤 λi\lambda_i 에 대해 Re(λi)>0\text{Re}(\lambda_i) > 0: 평형점이 불안정 (그 방향으로 발산).
  • 모든 Re(λi)≤0\text{Re}(\lambda_i) \le 0 이고 어떤 λj\lambda_j 에 대해 Re(λj)=0\text{Re}(\lambda_j) = 0: 중립 — 비선형 항이 결정.

Hartman–Grobman 정리. 평형점이 하이퍼볼릭 (모든 Re(λi)≠0\text{Re}(\lambda_i) \neq 0) 이면, 비선형 시스템의 흐름이 국소적으로 선형화 시스템의 흐름과 위상 동형 (homeomorphism). 즉 선형화로 국소 행동을 정확히 결정.

해밀턴 시스템 (1자유도, 2D) 의 경우: 보존성으로 trace of AA = 0 이라 고유값이 ±iω\pm i\omega (중심) 또는 ±λ\pm \lambda (안장점). 점근 안정 평형점이 없는 이유.

한 번 더, 천천히

(1) 단진자 평형점의 선형화. f(θ,p)=(p,−sin⁡θ)f(\theta, p) = (p, -\sin\theta).

  • (θ=0,p=0)(\theta = 0, p = 0): A=(01−10)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. 고유값 ±i\pm i. 중심 (center) — Liapunov 안정.
  • (θ=π,p=0)(\theta = \pi, p = 0): A=(0110)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. 고유값 ±1\pm 1. 안장점 (saddle) — 불안정.

(2) 마찰 진자. (θ=0,p=0)(\theta = 0, p = 0) 의 선형화 A=(01−1−γ)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -\gamma \end{pmatrix}. 고유값 λ=(−γ±γ2−4)/2\lambda = (-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - 4})/2. γ<2\gamma < 2: 복소 (감쇠 진동), γ>2\gamma > 2: 실수 (과감쇠). 두 경우 모두 점근 안정.

(3) 비-하이퍼볼릭의 주의. 어떤 Re(λ)=0\text{Re}(\lambda) = 0 이면 선형화로 결론이 안 난다. 해밀턴 시스템의 중심 이 정확히 이 경우 — 비선형 항 이 결정. KAM 정리가 이런 경우의 안정성 분석 도구.

(4) 안정 / 불안정 다양체. 안장점에서 안정 다양체 (stable manifold) — t→+∞t \to +\infty 에서 평형점으로 가는 방향, 불안정 다양체 (unstable manifold) — t→−∞t \to -\infty 에서 가는 방향. 선형화에서는 고유벡터의 부분공간, 비선형에서는 접한 매끄러운 곡면.

(5) §1.4.11 의 지수사상 회수. 선형 시스템 ξ˙=Aξ\dot \xi = A \xi 의 해 ξ(t)=eAtξ0\xi(t) = e^{At} \xi_0. 지수사상이 행렬 형식으로 직접 등장. 리 군 GL(n)GL(n) 의 리 대수에서 군으로의 사상 의 학부 표본.

파이썬으로 확인 — 단진자의 두 평형점 선형화

이 코드의 메시지는 단순하다: 단진자 두 평형점에서 자코비안을 계산하고 고유값을 분석. 선형 흐름의 고유 모드 가 비선형 운동의 국소 행동 과 일치.

# 단진자: f(θ, p) = (p, -sin θ)
# Df = [[0, 1], [-cos θ, 0]]
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

# 두 평형점의 자코비안과 고유값
def jacobian_at(theta_eq):
    return np.array([[0.0, 1.0],
                     [-np.cos(theta_eq), 0.0]])

print("(a) 안정 평형 (θ=0):")
A = jacobian_at(0.0)
eigs = np.linalg.eigvals(A)
print(f"  Jacobian A = \n{A}")
print(f"  고유값: {eigs}")
print(f"  → 순수 허수 ±i — *중심*, Liapunov 안정")

print("\n(b) 불안정 평형 (θ=π):")
A = jacobian_at(np.pi)
eigs = np.linalg.eigvals(A)
print(f"  Jacobian A = \n{A}")
print(f"  고유값: {eigs}")
print(f"  → 실수 ±1 — *안장점*, 불안정")

# 비선형 vs 선형 비교
def pendulum_nonlinear(t, y):
    return [y[1], -np.sin(y[0])]

def pendulum_linear_around_0(t, y):
    return [y[1], -y[0]]  # cos(0) = 1

y0 = [0.05, 0.0]
t_max = 5.0
ts = np.linspace(0, t_max, 200)

sol_nl = solve_ivp(pendulum_nonlinear, (0, t_max), y0, rtol=1e-9, atol=1e-11, dense_output=True)
sol_lin = solve_ivp(pendulum_linear_around_0, (0, t_max), y0, rtol=1e-9, atol=1e-11, dense_output=True)

theta_nl = sol_nl.sol(ts)[0]
theta_lin = sol_lin.sol(ts)[0]
diff = np.max(np.abs(theta_nl - theta_lin))
print(f"\n작은 변위 (ε=0.05) 의 비선형 vs 선형 차이: max |Δθ| = {diff:.2e}")
print("→ Hartman–Grobman: 하이퍼볼릭 평형점이라면 *국소적으로 동일*")
print("  (단, θ=0 은 하이퍼볼릭이 아님 — 중심이라 정확한 동치는 깨질 수 있음)")

이 결과는 선형화 분석 의 위력 — 비선형 시스템의 국소 행동을 한 행렬의 고유값 으로 결정 — 을 보여 준다.

다음 절(4.3.5)로 가는 다리

평형점의 2 차원 분석 — 가장 흔하고 시각적 인 경우. 위상평면의 고유값 다이어그램 — saddle, node, focus, center — 으로 모든 2D 평형점이 분류. §4.3.5 가 그 분류를 정리.