2.3.1 — 기본 1-형식과 기본 2-형식: 라그랑지언이 만드는 기하학적 객체

라그랑지언 LL 이 접번들 TMTM 위에 기본 1-형식 θL=(∂L/∂q˙α)dqα\theta_L = (\partial L/\partial \dot q^\alpha) dq^\alpha 와 기본 2-형식 ωL=−dθL\omega_L = -d\theta_L 을 자연스럽게 만든다. 이 두 형식이 라그랑주 역학의 좌표 자유 표현의 출발점.

본문이 말하는 것

원서 2.3.1 절은 라그랑지언 L=L(q,q˙,t)L = L(q, \dot q, t) 가 접번들 TMTM (또는 확장 TM×RTM \times \mathbb R) 위에 만들어 내는 두 가지 미분형식을 정의한다.

기본 1-형식 (fundamental 1-form, Poincaré–Cartan 1-form):

θL:=∂L∂q˙α dqα=pα dqα\theta_L := \frac{\partial L}{\partial \dot q^\alpha}\, dq^\alpha = p_\alpha\, dq^\alpha

(아인슈타인 합 규약, pα=∂L/∂q˙αp_\alpha = \partial L / \partial \dot q^\alpha). 좌표 자유 객체로 접번들 TMTM 위의 1-형식. dqαdq^\alpha 가 TMTM 의 차트 좌표 (q,q˙)(q, \dot q) 중 qq 부분의 1-형식 임에 주의 — dq˙d\dot q 가 등장하지 않는다.

확장 1-형식 (TM×RTM \times \mathbb R 위):

θLext=pα dqα−H dt=pα dqα+(L−pαq˙α) dt\theta_L^{\text{ext}} = p_\alpha\, dq^\alpha - H\, dt = p_\alpha\, dq^\alpha + (L - p_\alpha \dot q^\alpha)\, dt

— L dtL\, dt 가 곡선 위에서 작용 의 적분이 되는 작용 1-형식. §3 의 변분 원리의 기초.

기본 2-형식 (fundamental 2-form):

ωL:=−dθL=−d ⁣(∂L∂q˙α)∧dqα\omega_L := -d\theta_L = -d\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q^\alpha}\right) \wedge dq^\alpha

좌표로 풀어 적으면

ωL=−∂2L∂q˙α∂q˙β dq˙β∧dqα−∂2L∂qβ∂q˙α dqβ∧dqα\omega_L = -\frac{\partial^2 L}{\partial \dot q^\alpha \partial \dot q^\beta}\, d\dot q^\beta \wedge dq^\alpha - \frac{\partial^2 L}{\partial q^\beta \partial \dot q^\alpha}\, dq^\beta \wedge dq^\alpha

스클레로노믹 + L=T−VL = T - V 의 표준 경우, 첫 항이 질량 행렬 MαβM_{\alpha\beta} 가 등장하는 비퇴화 부분. 두 번째 항은 위치 좌표 사이의 비대칭 결합.

핵심 사실 (2.3.2 에서 본격 사용): 라그랑주 운동방정식은 좌표 자유로

ιγ˙ ωL=dH(확장 형식의 표현)\iota_{\dot \gamma}\, \omega_L = dH \quad (\text{확장 형식의 표현})

— 운동 곡선 γ\gamma 의 접벡터 γ˙\dot\gamma 가 ωL\omega_L 과 contract 한 결과가 에너지의 미분. 즉 기본 2-형식 이 운동을 기하학적으로 결정한다.

한 번 더, 천천히

(1) θL\theta_L 이 왜 자연스러운가. 작용 S=∫L dtS = \int L\, dt 가 곡선 위의 1-형식 L dtL\, dt 의 적분. 그 1-형식을 접번들 위로 끌어 올리면 (= pullback 의 역연산) θLext=pα dqα−H dt\theta_L^{\text{ext}} = p_\alpha\, dq^\alpha - H\, dt. 즉 θL\theta_L 가 작용 적분의 적분기. §3 의 변분 원리에서 자연스럽게 등장.

(2) 르장드르 변환의 기하학적 의미. 좌표 (q,q˙)(q, \dot q) 의 접번들 TMTM 에서, q˙α\dot q^\alpha 를 pα=∂L/∂q˙αp_\alpha = \partial L / \partial \dot q^\alpha 로 옮기는 사상이 르장드르 사상 TM→T∗MTM \to T^*M (여접번들). θL=pαdqα\theta_L = p_\alpha dq^\alpha 가 그 사상으로 여접번들의 자연 1-형식 θcan=pαdqα\theta_{\text{can}} = p_\alpha dq^\alpha 의 당김. §4 의 해밀턴 형식에서 본격 등장.

(3) ωL\omega_L 의 심플렉틱 성격. ωL\omega_L 이 비퇴화 인 라그랑지언 — 즉 det⁡(∂2L/∂q˙α∂q˙β)≠0\det(\partial^2 L / \partial \dot q^\alpha \partial \dot q^\beta) \neq 0 — 을 정칙 (regular) 라그랑지언이라 한다. 정칙 라그랑지언에서 ωL\omega_L 은 TMTM 위의 심플렉틱 형식. §4 의 해밀턴 위상공간 T∗MT^*M 위의 ωcan=dpα∧dqα\omega_{\text{can}} = dp_\alpha \wedge dq^\alpha 가 그 자연스러운 도착지.

(4) 비정칙 라그랑지언의 어려움. det⁡(∂2L/∂q˙α∂q˙β)=0\det(\partial^2 L / \partial \dot q^\alpha \partial \dot q^\beta) = 0 라면 — 예: 게이지 이론의 라그랑지언, 일반상대론의 1차 형식 — ωL\omega_L 이 퇴화. 이 경우 운동방정식이 일관성 조건 을 만들고, Dirac 의 구속 형식 으로 다뤄야 한다. 본 책의 범위 밖.

(5) §1.6.5 의 외미분 등장. ωL=−dθL\omega_L = -d\theta_L 가 외미분의 적용. §1.6 의 어휘가 §2.3 에서 비로소 물리적 객체 를 만들어 내는 자리. θL\theta_L 이 1-형식 → ωL=−dθL\omega_L = -d\theta_L 이 2-형식 → dωL=−d2θL=0d\omega_L = -d^2\theta_L = 0 (자동, d2=0d^2 = 0). 즉 ωL\omega_L 이 닫힌 2-형식 — 심플렉틱 조건 의 핵심.

파이썬으로 확인 — 단진자의 θL\theta_L 와 ωL\omega_L

이 코드의 메시지는 단순하다: 단진자 L=12mℓ2θ˙2+mgℓcos⁡θL = \frac{1}{2} m\ell^2 \dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta 의 기본 1-형식과 기본 2-형식을 sympy 로 계산하고, dωL=0d\omega_L = 0 (심플렉틱 조건) 을 명시적으로 확인.

# 단진자: q = θ, q̇ = θ̇
# L = (1/2) m ℓ² θ̇² + m g ℓ cos θ
# p = ∂L/∂θ̇ = m ℓ² θ̇
# θ_L = p dθ = m ℓ² θ̇ dθ
# ω_L = -d θ_L = -d(m ℓ² θ̇ dθ) = -m ℓ² d(θ̇) ∧ dθ = m ℓ² dθ ∧ dθ̇  (부호 정리)
import sympy as sp

theta, dtheta = sp.symbols('theta thetadot', real=True)
m, ell, g = sp.symbols('m ell g', positive=True)

L = sp.Rational(1, 2) * m * ell**2 * dtheta**2 + m * g * ell * sp.cos(theta)

# 기본 1-형식 θ_L = p dθ (p = ∂L/∂θ̇)
p = sp.diff(L, dtheta)
print(f"p = ∂L/∂θ̇ = {p}")
print(f"θ_L = ({p}) dθ")

# 기본 2-형식 ω_L = -d θ_L
# -d(p dθ) = -dp ∧ dθ = (∂p/∂θ dθ + ∂p/∂θ̇ dθ̇) ∧ (-dθ) = ∂p/∂θ̇ dθ ∧ dθ̇
# (∂p/∂θ = 0 인 경우 — 단진자에서)
dp_dtheta = sp.diff(p, theta)
dp_ddtheta = sp.diff(p, dtheta)

# ω_L 의 dθ ∧ dθ̇ 성분
omega_L_coeff = dp_ddtheta  # ω_L = (dp_ddtheta) dθ ∧ dθ̇
print(f"\nω_L = ({omega_L_coeff}) dθ ∧ dθ̇")
print(f"     = {omega_L_coeff} (질량 행렬 = m ℓ²)")

# 비퇴화 조건: 질량 행렬이 0 이 아닌가?
print(f"\n비퇴화 조건: ω_L 의 (dθ ∧ dθ̇) 계수 = {omega_L_coeff} ≠ 0")

# d ω_L = 0 (자동 — d² = 0)
# 1자유도 라그랑지언에서 ω_L 은 *2 차원 위 2-형식* 이라 d ω_L 은 3-형식이지만
# 2차원 위에선 3-형식이 모두 0 — 자명하게 닫혀 있음.
print(f"\n2차원 (q, q̇) 위 2-형식 ω_L 이 자동으로 닫혀 있다 (d² = 0).")

# 다자유도 경우의 일반 확인: 이중진자 같은 2자유도 예시도 ω_L 가 닫힘
# (계산은 본문 생략, 외미분 d² = 0 에서 자동)

이 결과는 (a) θL\theta_L 의 좌표 표현이 질량 × 속도 × 좌표 미분 으로 자연스럽게 떨어지고, (b) ωL\omega_L 의 계수가 질량 행렬 그 자체, (c) ωL\omega_L 가 자동으로 닫혀 있어 심플렉틱 구조의 자연스러운 후보임을 보인다.

다음 절(2.3.2)로 가는 다리

기본 1-형식 θL\theta_L 와 기본 2-형식 ωL\omega_L 이 접번들 위의 좌표 자유 객체 라는 것이 박혔다. 그러면 라그랑주 방정식 — 좌변·우변·자유도 — 도 좌표 자유로 적힐 수 있을까? 답은 그렇다. 2.3.2 가 라그랑주 운동방정식의 순수 미분기하 표현을 박는다.