2.3.2 — 라그랑주 방정식의 좌표계 무관 표현: $\iota_{\dot\gamma} \omega_L = dE_L$ 한 줄

운동 곡선의 접벡터 $\dot\gamma$ 가 기본 2-형식 $\omega_L$ 과 contract 한 결과가 에너지의 미분 — 라그랑주 식이 좌표 자유 한 줄로 적힌다. §4 의 심플렉틱 기하학으로 가는 다리.

본문이 말하는 것

원서 2.3.2 절은 라그랑주 방정식의 순수 기하학적 표현을 박는다. 표기:

• $TM$: 배위공간 $M$ 의 접번들. 차트 좌표 $(q, \dot q)$.
• $\theta_L = p_\alpha\, dq^\alpha$: 기본 1-형식 (2.3.1).
• $\omega_L = -d\theta_L$: 기본 2-형식.
• $E_L := p_\alpha \dot q^\alpha - L$: 에너지 함수 (해밀토니언과 같은 양, 그러나 $TM$ 위의 함수 로 본 것).

기하학적 운동방정식. 곡선 $\gamma(t) \in TM$ 의 접벡터를 $\Gamma := \dot\gamma$ 라 적으면 (이건 $TM$ 위의 벡터장 — 2차 미분 정보가 들어 있다), 라그랑주 운동방정식은

$$\iota_\Gamma\, \omega_L = dE_L$$

여기서 $\iota$ 가 내부곱 (interior product, 또는 contraction): $\omega_L$ 의 한 슬롯에 $\Gamma$ 를 대입해 1-형식 을 만든다.

좌표로 풀어 적으면 정확히

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q^\alpha} - \frac{\partial L}{\partial q^\alpha} = 0$$

이 나온다 (계산은 본문). 즉 좌표 표현이 같은 식.

한 번 더, 천천히

도해를 그려 두면 — 식 한 줄 의 깔끔함이 의미하는 바를 짚어 보자.

(a) 운동이 기하학적 객체 가 되는 일. 라그랑주 식의 좌표 표현 $\frac{d}{dt}\partial L/\partial \dot q - \partial L/\partial q = 0$ 은 좌표 의존. 같은 식의 좌표 자유 표현 $\iota_\Gamma \omega_L = dE_L$ 은 좌표를 바꿔도 같은 식. 즉 운동 자체 가 기하학적 자연 객체 — 좌표가 도움 도구.

(b) $\omega_L$ 의 비퇴화 가 운동의 유일 결정 을 보장. $\omega_L$ 이 비퇴화이면 (정칙 라그랑지언, 2.3.1) 위 식이 $\Gamma$ 를 유일하게 결정 — 임의의 점에서 운동이 유일한 접벡터 를 가진다. ODE 의 존재·유일성 정리가 심플렉틱 기하학 의 한 면.

(c) §4 와의 비교. §4 의 해밀턴 형식에서는 같은 식이 여접번들 $T^*M$ 에서 $\iota_X \omega_{\text{can}} = dH$ — 형식이 같지만 무대 가 $TM \to T^*M$ 으로 옮겨간다. 르장드르 변환이 두 무대를 잇는다.

(d) 일반상대론·게이지 이론의 시드. 같은 형식이 시공간 위의 라그랑지언 (필드 이론), 섬유다발 위의 라그랑지언 (게이지 이론) 으로 일반화. 그 모든 경우 기본 형식 과 내부곱·외미분 이 같은 역할.

(e) “좌표 자유” 의 실용적 의미. 새 좌표를 도입할 때 식이 어떻게 변하는가 를 일일이 계산하지 않아도 된다. 같은 식 $\iota_\Gamma \omega_L = dE_L$ 이 모든 좌표 에서 성립 — 계산은 상황에 편한 좌표 에서만 하면 된다.

(f) 내부곱의 정의 한 줄. 1-형식 $\alpha$ 와 벡터 $X$ 에 대해 $\iota_X \alpha = \alpha(X)$ — 벡터를 1-형식의 슬롯에 넣음. $p$-형식 $\omega$ 와 벡터 $X$ 에 대해 $(\iota_X \omega)(Y_1, \dots, Y_{p-1}) = \omega(X, Y_1, \dots, Y_{p-1})$ — 한 슬롯에 $X$ 를 채워 $(p-1)$-형식 만듦. 외미분의 쌍대 같은 자연스러운 연산.

(g) §1.6 의 어휘가 만든 일. $\theta_L$ 은 1-형식, $\omega_L$ 은 2-형식, $\iota_\Gamma \omega_L$ 은 1-형식, $dE_L$ 도 1-형식 — 양변의 차수가 일치. 외미분 + 외적 + 내부곱이 만드는 대수적 자동 회계 가 식의 형식 일치 를 보장.

다음 절(2.4.1)로 가는 다리

라그랑주식의 좌표 자유 표현 $\iota_\Gamma \omega_L = dE_L$ 은 모든 좌표 선택 에 대해 통한다. 그러나 일반화 좌표가 아닌 — 그 공간이 적분 가능한 좌표를 가지지 않는 — 경우가 있다. 회전체의 각속도 같은 양은 좌표의 시간 미분 으로 적기 어렵다 (적분 불가능). 그 자리에 등장하는 새 객체가 준좌표 (quasi-coordinate). §2.4 가 그 처리를 박는다.