4.3.7 — 랴푸노프 함수: 선형화 없이 안정성을 직접 증명

평형점 부근에서 값이 양, 흐름을 따라 감소 하는 함수 VV 가 있으면 그 평형점은 점근 안정. 에너지 같은 양의 직접 사용.

본문이 말하는 것

Lyapunov 함수 (Lyapunov function). 평형점 x∗x^* 의 근방에서 정의된 C1C^1 함수 V:U→RV : U \to \mathbb R 가 다음 조건을 만족:

  • V(x∗)=0V(x^*) = 0, 그 외 V(x)>0V(x) > 0 in U∖{x∗}U \setminus \{x^*\}. (양의 정부호.)
  • 흐름을 따라 감소: V˙:=∇V⋅f≤0\dot V := \nabla V \cdot f \le 0 in UU.

이런 VV 가 존재하면 x∗x^* 는 Liapunov 안정.

추가로 V˙<0\dot V < 0 in U∖{x∗}U \setminus \{x^*\} — 엄밀한 감소 — 라면 x∗x^* 는 점근 안정.

LaSalle 의 불변성 원리 (LaSalle’s invariance principle). V˙≤0\dot V \le 0 이고 V˙=0\dot V = 0 인 집합이 불변 집합 으로서 {x∗}\{x^*\} 뿐이라면, x∗x^* 가 점근 안정 (강한 결론).

해밀턴 시스템의 자연스러운 Liapunov 함수. V=H−H(x∗)V = H - H(x^*) — 평형점에서의 에너지 차이. V˙={H,H}=0\dot V = \{H, H\} = 0 — 흐름에 보존. 그래서 VV 가 감소하지 않음 (= Liapunov 안정만 보장, 점근 안정 X). 해밀턴 평형점의 안정성을 본 도구로 증명 가능.

비-해밀턴 (수축) 의 경우. 마찰 진자: V=12p2+(1−cos⁡θ)V = \frac{1}{2} p^2 + (1 - \cos\theta) (에너지). V˙=−γp2≤0\dot V = -\gamma p^2 \le 0 — 강한 부등식이 대부분 성립. LaSalle 로 (θ,p)=(0,0)(\theta, p) = (0, 0) 이 점근 안정.

한 번 더, 천천히

(1) Liapunov 의 기하학적 직관. VV 의 등고선 이 평형점을 둘러싸는 닫힌 곡선. V˙≤0\dot V \le 0 의 의미: 흐름이 등고선을 안쪽으로 가로질러 간다 (또는 등고선 위에 머문다). 무한히 시간이 흐르면 평형점 (V = 0) 에 수렴.

(2) Liapunov 함수의 존재성. 모든 점근 안정 평형점에 대해 어떤 Liapunov 함수가 존재 — Massera 정리. 그러나 명시적으로 구성 하기는 일반적으로 어렵다. 해밀턴 시스템의 에너지 보존이 자연스러운 후보 라는 점이 큰 도움.

(3) 변분 원리와의 연결. §3 의 작용 S(q,t)S(q, t) 가 (적절한 조건 하에) Liapunov 함수 같은 양 — 해밀턴-야코비식의 해. 이 시각이 최적 제어 이론 (optimal control) 의 Bellman 식 으로 옮겨진다.

(4) 양자역학에서의 유사. Lyapunov 부등식의 양자판 — Robertson–Schrödinger 부등식 (uncertainty principle). 비교는 약하지만 비-자명한 부등식이 안정성·정밀성 한계 를 결정한다는 대수적 평행성.

(5) 카오스에서의 제한. 카오스 attractor (예: Lorenz) 의 안정성은 Liapunov 함수로 증명되지 않을 때가 많다. Liapunov 지수 (다른 개념 — exponential divergence 의 평균 비율) 가 민감성을 정량화. 두 Liapunov 가 다른 의미 임에 주의.

파이썬으로 확인 — 마찰 진자의 Liapunov 함수

이 코드의 메시지는 단순하다: 마찰 진자의 에너지 V=12p2+(1−cos⁡θ)V = \frac{1}{2}p^2 + (1 - \cos\theta) 가 시간에 따라 단조 감소 함을 직접 본다. LaSalle 로 (0,0)(0, 0) 의 점근 안정성 이 자동.

# 마찰 진자: θ¨ = -sin θ - γ θ̇
# Liapunov 함수: V(θ, p) = (1/2) p² + (1 - cos θ)
# V̇ = -γ p² ≤ 0
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

gamma = 0.5

def damped_pendulum(t, y):
    theta, p = y
    return [p, -np.sin(theta) - gamma * p]

# 초기조건
y0 = [1.5, 1.0]  # 큰 변위 + 큰 운동량
sol = solve_ivp(damped_pendulum, (0, 30.0), y0,
                rtol=1e-9, atol=1e-11, dense_output=True)

ts = np.linspace(0, 30, 500)
theta, p = sol.sol(ts)

# Liapunov 함수 (= 에너지)
V = 0.5 * p**2 + (1 - np.cos(theta))

# 시간 미분 V̇ = -γ p²
V_dot = -gamma * p**2

print("마찰 진자의 Liapunov 함수 V 의 시간 변화:")
print(f"  V(t=0)  = {V[0]:.6f}")
print(f"  V(t=10) = {V[len(ts)//3]:.6f}")
print(f"  V(t=20) = {V[2*len(ts)//3]:.6f}")
print(f"  V(t=30) = {V[-1]:.6f}")
print(f"\n  V 는 *단조 감소* (수치 미분으로):")
dV_dt_numeric = np.gradient(V, ts)
print(f"  max V̇ (수치) = {dV_dt_numeric.max():.4f}  (= 0 기대)")
print(f"  min V̇ (수치) = {dV_dt_numeric.min():.4f}  (음수)")

print(f"\n  해석값 V̇ = -γ p²:")
print(f"  V̇(t=10) (해석) = {V_dot[len(ts)//3]:.4f}")
print(f"  V̇(t=10) (수치) = {dV_dt_numeric[len(ts)//3]:.4f}")
print(f"  → 두 값 거의 일치 — 해석적 V̇ ≤ 0 확인.")

이 결과는 Liapunov 함수의 단조 감소 가 수치적으로 정확히 성립하며, 점근 안정성을 보장 함을 보인다.

다음 절(4.3.8)로 가는 다리

연속 시간 동력학 시스템을 이산 시간 사상 으로 환원하는 가장 자연스러운 방법이 Poincaré 사상. 주기해의 안정성 분석, 강제 진동의 카오스, 천체역학의 KAM 등 — 모두 Poincaré 사상으로 다뤄진다. §4.3.8 의 주제.