2.1.3 — 공변성: 좌표를 바꿔도 라그랑주식의 형태 가 유지된다

q→q′=q′(q,t)q \to q' = q'(q, t) 변환에서 라그랑주식 ddt∂L/∂q˙α−∂L/∂qα=0\frac{d}{dt}\partial L/\partial \dot q^\alpha - \partial L/\partial q^\alpha = 0 의 형태 가 그대로 유지된다. 즉 라그랑지언이 배위공간 위의 함수 — 좌표 자유 객체.

본문이 말하는 것

원서 2.1.3 절은 다음 정리를 증명한다.

공변성 정리. 일반화 좌표를 q→q′q \to q' 의 매끄러운 가역 변환 (q′=q′(q,t)q' = q'(q, t), 자코비안이 비퇴화) 으로 바꿀 때, 라그랑지언이 변환됨

L′(q′,q˙′,t):=L(q(q′,t),q˙(q′,q˙′,t),t)L'(q', \dot q', t) := L(q(q', t), \dot q(q', \dot q', t), t)

그러면 새 좌표에서 같은 형태 의 라그랑주식이 성립:

ddt∂L′∂q˙′β−∂L′∂q′β=0\frac{d}{dt} \frac{\partial L'}{\partial \dot q'^\beta} - \frac{\partial L'}{\partial q'^\beta} = 0

증명의 핵심은 두 단계.

(a) 속도의 변환. q˙α=q˙α(q′,q˙′,t)=(∂qα/∂q′β) q˙′β+∂qα/∂t\dot q^\alpha = \dot q^\alpha(q', \dot q', t) = (\partial q^\alpha / \partial q'^\beta)\, \dot q'^\beta + \partial q^\alpha / \partial t — 자코비안 + 시간 미분.

(b) 편미분의 자코비안. ∂q˙α/∂q˙′β=∂qα/∂q′β\partial \dot q^\alpha / \partial \dot q'^\beta = \partial q^\alpha / \partial q'^\beta (속도의 변환식에서 — 비-호환 마술 라 불리는 이 등식이 라그랑주식 공변성의 비결).

이 두 사실을 라그랑주식의 좌변에 대입 후 인덱스 정리하면 새 좌표의 좌변 이 자코비안과 곱해진 형태로 나옴. 자코비안이 비퇴화이므로 좌변이 0 ↔ 새 좌변이 0.

기하학적 해석. 라그랑지언 LL 이 사실 배위공간의 접번들 TMTM 위의 함수. 좌표 표현 L(q,q˙,t)L(q, \dot q, t) 은 그 함수의 좌표 표현. 좌표를 바꾸면 표현은 바뀌지만 함수 자체 는 그대로. 라그랑주식은 그 함수의 미분 구조 가 만드는 곡선 — 좌표 자유 객체.

한 번 더, 천천히

도해를 그려 두면 — 공변성은 형식 불변성 (form invariance), 값 불변성 (value invariance) 이 둘 다 의미하는 단어다.

(a) 형식 불변성. 식의 모양 — ddt∂L/∂q˙−∂L/∂q=0\frac{d}{dt} \partial L / \partial \dot q - \partial L / \partial q = 0 — 이 좌표를 바꿔도 그대로. 새 좌표 q′q' 에서도 같은 ˙\dot{} , ∂/∂\partial / \partial 의 기호로 적힘. 형식의 패턴 이 좌표 무관.

(b) 값 불변성. L′L' 의 값 이 q′q' 의 한 점에서, 같은 점을 다른 좌표로 적은 LL 의 값과 같다. 즉 기하학적 라그랑지언이 좌표 표현에 의존하지 않는 하나의 함수.

(a) 가 (b) 에서 자동으로 따라 나옴. 단, 라그랑주식의 해석 — 식이 어떤 물리적 객체 의 식인지 — 는 (b) 에서만 명확해진다.

(c) 단진자 두 좌표. q=θq = \theta 로 적은 L=12mℓ2θ˙2+mgℓcos⁡θL = \frac{1}{2}m\ell^2 \dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta 과 q′=sin⁡θq' = \sin\theta 로 적은 L′L' 가 값 으로 같은 함수. L′L' 을 명시적으로 적으면 — θ˙=q˙′/cos⁡θ=q˙′/1−q′2\dot\theta = \dot q' / \cos\theta = \dot q' / \sqrt{1 - q'^2} 이라 — L′=12mℓ2q˙′2/(1−q′2)+mgℓ1−q′2L' = \frac{1}{2} m\ell^2 \dot q'^2 / (1 - q'^2) + mg\ell\sqrt{1 - q'^2}. 두 식이 형태는 다르지만 같은 운동 을 만든다.

(d) 1.3.2 의 텐서 변환과의 연결. 라그랑지언은 (0,0)-스칼라장 (배위공간 위의 함수). 1.3.2 의 텐서 변환 규칙에서 스칼라 는 좌표 변환에 완전히 불변. 그 불변성이 공변성 정리의 심층 이유.

(e) 일반상대론으로의 다리. 라그랑주식이 시공간의 모든 좌표계에서 같은 형태 라는 것은 일반상대론의 일반 공변성 (general covariance) 의 학부 표본. 일반상대론은 4-차원 시공간을 다양체로 잡고, 라그랑지언을 시공간 위 스칼라 로 적는다.

다음 절(2.1.4)로 가는 다리

지금까지 본 라그랑지언 L=T−VL = T - V 는 위치만의 함수 V(q)V(q) 를 위치에너지로 가졌다. 그러나 속도에 의존하는 힘 — 가장 중요한 예: 전자기 로렌츠 힘 — 도 라그랑주식으로 다룰 수 있다. 그 자리에 등장하는 새 개념이 일반화 포텐셜 U(q,q˙,t)U(q, \dot q, t). 2.1.4 가 그 정의와 로렌츠 힘 예시를 박는다.