1.5.1 — 쌍대공간과 코벡터: 벡터를 수 로 옮기는 선형 함수

벡터공간 VV 의 쌍대공간 V∗V^* = VV 에서 R\mathbb R 로의 선형 함수들. 각 함수가 코벡터 — 위 첨자 dxidx^i 가 기저, 변환은 공변. 다음 절부터의 텐서 형식의 출발점.

본문이 말하는 것

VV 가 유한 차원 (nn) 실 벡터공간이라 하자. 쌍대공간 (dual space) V∗V^* 는

V∗:={ω:V→R∣ω 는 선형}V^* := \{\omega : V \to \mathbb R \mid \omega\, \text{는 선형}\}

각 원소 ω∈V∗\omega \in V^* 가 코벡터 (covector), 1-형식 (1-form), 또는 선형 함수 (linear functional). 정의대로 ω(av+bw)=aω(v)+bω(w)\omega(a \mathbf{v} + b \mathbf{w}) = a \omega(\mathbf{v}) + b \omega(\mathbf{w}).

VV 의 기저 {e1,…,en}\{\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n\} 에 대응하는 쌍대 기저 {e1,…,en}\{e^1, \dots, e^n\} 은

ei(ej)=δjie^i(\mathbf{e}_j) = \delta^i_j

(크로네커 델타). 각 eie^i 는 ii-번째 성분을 뽑아 주는 함수.

다양체에서는 차트 좌표 (x1,…,xn)(x^1, \dots, x^n) 의 좌표 기저 {∂1,…,∂n}\{\partial_1, \dots, \partial_n\} 의 쌍대 기저를 {dx1,…,dxn}\{dx^1, \dots, dx^n\} 로 적는다 (1.6 의 1-형식 자리). dxidx^i 는 ii-번째 좌표를 뽑아 주는 코벡터.

임의의 ω∈V∗\omega \in V^* 는 ω=ωi ei\omega = \omega_i\, e^i — 공변 (covariant) 성분. 좌표 변환 ei′=(∂xj/∂xi′)ej\mathbf{e}_{i'} = (\partial x^j / \partial x^{i'}) \mathbf{e}_j 에 대해

ei′=∂xi′∂xj ej,ωi′=∂xj∂xi′ ωje^{i'} = \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^j}\, e^j,\qquad \omega_{i'} = \frac{\partial x^j}{\partial x^{i'}}\, \omega_j

기저는 반변, 성분은 공변 — 벡터의 정확히 반대 패턴. 이 비대칭이 1.3.1 의 반변/공변 대비의 자리.

한 번 더, 천천히

도해를 그려 두면 — 코벡터의 기하학적 상은 평행한 평면들의 가족.

(a) 코벡터 = 평면. R3\mathbb R^3 의 코벡터 ω=a dx+b dy+c dz\omega = a\,dx + b\,dy + c\,dz 가 벡터 v=(v1,v2,v3)\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3) 에 작용하면 ω(v)=av1+bv2+cv3\omega(\mathbf{v}) = a v_1 + b v_2 + c v_3 — 내적. 기하학적으로 ω=\omega = const 의 등고선들은 ax+by+cz=a x + b y + c z = const 의 평행 평면들. 벡터가 그 평면 가족을 몇 개 가로지르는가 가 ω(v)\omega(\mathbf{v}) 의 값.

(b) 벡터와 코벡터의 기하학적 비대칭. 벡터는 화살표, 코벡터는 평면 가족. 둘이 결합해 수 — 얼마나 가로지르는가 — 를 만든다. 같은 벡터공간 구조 를 가지지만 그림이 다르다.

(c) 내적이 없는 다양체에서의 의미. VV 와 V∗V^* 는 추상적으로 동형 (둘 다 Rn\mathbb R^n) 이지만 자연적 동형은 없다 — 그 동형을 박는 것이 내적 또는 미터. 미터 gijg_{ij} 가 있으면 ωi=gijvj\omega_i = g_{ij} v^j 로 벡터를 코벡터로 내릴 수 있다. 일반 다양체는 미터가 없을 수 있고, 그 경우 벡터와 코벡터는 진짜로 다른 객체.

(d) V∗∗≅VV^{**} \cong V 의 자연 동형. V∗V^* 의 쌍대 V∗∗V^{**} 는 VV 와 자연적으로 동형 — 벡터 v\mathbf{v} 가 코벡터 ω\omega 에 작용해 ω(v)\omega(\mathbf{v}) 를 만드는 평가 사상. 이 동형은 내적과 무관하다.

다음 절(1.5.2)로 가는 다리

벡터의 반변 성분과 코벡터의 공변 성분이 다르게 변환된다는 것은, 둘이 별도의 객체 임을 의미. 그러나 미터가 주어지면 둘을 오간다 — 인덱스 올리기·내리기. 1.5.2 는 이 두 종류의 객체를 미터로 짝짓는 형식적 절차를 박는다.