1.6.6 — 푸앵카레 보조정리: 국소적 으로는 닫힘 = 정확함

dω=0d \omega = 0 인 미분형식은 국소적 으로 ω=dα\omega = d\alpha 의 형태. 즉 닫힘은 국소적으로 정확함과 동치. 그러나 전역적 으로는 일반적으로 다르다 — 그 차이가 다양체의 위상학.

본문이 말하는 것

푸앵카레 보조정리 (Poincaré lemma). U⊂RnU \subset \mathbb R^n 가 별 모양 영역 (star-shaped domain — 어떤 점에서 다른 모든 점으로 직선이 들어 있는 영역) 이고 ω∈Ωp(U)\omega \in \Omega^p(U) 가 닫힘 (dω=0d\omega = 0, p≥1p \ge 1) 이라면, ω\omega 는 정확함: 어떤 α∈Ωp−1(U)\alpha \in \Omega^{p-1}(U) 에 대해 ω=dα\omega = d\alpha.

다양체 일반에서는: 임의의 점 p∈Mp \in M 의 충분히 작은 근방 에서는 닫힌 형식이 정확함. 그러나 다양체 전체 에서는 일반적으로 닫힘 ≠ 정확함.

차이의 측정 — 드람 코호몰로지 (de Rham cohomology):

HdRp(M):={ω∈Ωp:dω=0}{dα:α∈Ωp−1}H^p_{dR}(M) := \frac{\{\omega \in \Omega^p : d\omega = 0\}}{\{d\alpha : \alpha \in \Omega^{p-1}\}}

— 닫힌 / 정확. 푸앵카레 보조정리는 별 모양 영역 위에서 HdRp=0H^p_{dR} = 0 이라는 진술.

한 번 더, 천천히

도해. 두 예가 전역 차이 를 보여 준다.

(a) R2\mathbb R^2 의 1-형식 ω=y dx\omega = y\, dx. dω=dy∧dx=−dx∧dy≠0d\omega = dy \wedge dx = -dx \wedge dy \neq 0 — 닫힘이 아님. 그래서 정확하지도 않다 (자명).

(b) 펑크 평면 R2∖{0}\mathbb R^2 \setminus \{0\} 의 1-형식.

ω=−y dx+x dyx2+y2\omega = \frac{-y\, dx + x\, dy}{x^2 + y^2}

직접 계산하면 dω=0d\omega = 0 — 닫힘. 그러나 정확하지 않다: ω=dα\omega = d\alpha 인 함수 α\alpha 가 없다. (시도해 보면 α=arctan⁡(y/x)\alpha = \arctan(y/x) 가 떠오르지만, arctan⁡\arctan 이 펑크 평면 전체에서 잘 정의되는 함수가 아니다 — 양의 xx 축에서 ±π\pm \pi 의 불연속.)

즉 펑크 평면에서 HdR1≠0H^1_{dR} \neq 0. 이 1차원 차이가 원점 주위를 한 번 도는 폐곡선의 존재 — 위상학적 구멍 — 을 측정한다.

(c) 원점 근방의 작은 디스크 위에서는 정확. 같은 ω\omega 를 펑크 평면의 작은 별 모양 부분에 제한하면 arctan⁡\arctan 이 한 가지(branch) 로 잘 정의되어 ω=darctan⁡(y/x)\omega = d \arctan(y/x). 푸앵카레 보조정리의 국소 진술이 적용.

별 모양 영역의 의미. 어떤 한 점 p0p_0 에서 모든 다른 점 pp 로의 직선이 영역에 들어 있는 영역. 볼록 영역 (특히 Rn\mathbb R^n 전체) 이 별 모양. 푸앵카레 보조정리의 증명은 호모토피 작용소 — p0p_0 와 pp 사이의 직선을 따라 적분 — 으로 명시적인 α\alpha 를 만든다.

물리에서의 출현.

  • 자속 B\mathbf{B} (2-형식) 가 닫힘 (dB=0d\mathbf{B} = 0, 즉 ∇⋅B=0\nabla \cdot \mathbf{B} = 0). 단일 연결 영역에서는 정확 — 즉 벡터 포텐셜 A\mathbf{A} 가 있어 B=dA\mathbf{B} = d\mathbf{A} (= ∇×A\nabla \times \mathbf{A}). 자기 단극 (monopole) 의 자속은 펑크된 R3∖{0}\mathbb R^3 \setminus \{0\} 의 2-형식 — 전역적 으로 정확하지 않다 (Dirac 의 stringency).
  • 전기 정전기장 E\mathbf{E} (1-형식) 가 정전기 영역에서 닫힘 (∇×E=0\nabla \times \mathbf{E} = 0). 단일 연결 영역에서는 전위 ϕ\phi 가 존재 (E=−dϕ\mathbf{E} = -d\phi).
  • 심플렉틱 2-형식 ω=dp∧dq\omega = dp \wedge dq on T∗MT^*M 은 닫힘 (dω=d2p∧dq+dp∧d2q=0d\omega = d^2 p \wedge dq + dp \wedge d^2 q = 0, 정확) — 그러나 ω=dα\omega = d\alpha 인 전역적 α\alpha 는 없을 수도 있다 (다양체의 위상에 의존).

다음 절(1.6.7)로 가는 다리

dd 의 반대 가 적분. ∫Mdα=?\int_M d\alpha = ? 의 답은 다음 1.6.7 ~ 1.6.8 의 스토크스 정리에서 나온다. 푸앵카레 보조정리가 국소적 역 을 박았다면, 스토크스 정리는 그것이 경계와 어떻게 통신 하는지를 박는다.