1.2.3 — 구속력의 결정: 법선 방향이 곱셈자 λ\lambda 를 묶어 준다

곡면 위 운동방정식의 법선 방향 으로 사영하면 구속력 크기 — 라그랑주 곱셈자 λ\lambda — 가 운동의 함수로 결정된다. 다랑베르 원리가 왜 구속력 식을 따로 풀지 않아도 되는지를 형식적으로 보이는 자리.

본문이 말하는 것

원서 1.2.3 절은 1.2.2 의 벡터식

mr¨=Fappl+Rm \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}^{\text{appl}} + \mathbf{R}

을 접선 방향 과 법선 방향 으로 분해한다. 접공간 기저 {ru,rv}\{\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v\} 와 단위 법선 벡터

n^=ru×rv∣ru×rv∣\hat{\mathbf{n}} = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|}

세 벡터가 R3\mathbb R^3 의 기저. 다랑베르 가정 — 매끄러운 구속 — 으로 구속력은 법선 성분만 갖는다:

R=λ n^\mathbf{R} = \lambda\, \hat{\mathbf{n}}

여기서 λ∈R\lambda \in \mathbb R 가 라그랑주 곱셈자 (Lagrange multiplier). 미지수다.

벡터식을 n^\hat{\mathbf{n}} 으로 사영 (내적) 하면

m r¨⋅n^=Fappl⋅n^+λm\, \ddot{\mathbf{r}} \cdot \hat{\mathbf{n}} = \mathbf{F}^{\text{appl}} \cdot \hat{\mathbf{n}} + \lambda

좌변은 가속도의 법선 성분 (1.2.2 에서 본 굽은 부분). 따라서

λ=m r¨⋅n^−Fappl⋅n^\lambda = m\, \ddot{\mathbf{r}} \cdot \hat{\mathbf{n}} - \mathbf{F}^{\text{appl}} \cdot \hat{\mathbf{n}}

λ\lambda 가 (u,v,u˙,v˙,u¨,v¨)(u, v, \dot u, \dot v, \ddot u, \ddot v) 와 외력의 함수로 결정 되었다. 그러나 이 식 자체는 운동을 풀지 않는다 — 운동이 결정된 뒤 에 구속력 크기를 읽어내는 식.

운동을 결정하는 식은 다음 1.2.4 의 접선 방향 사영이다.

한 번 더, 천천히

(1) 라그랑주 곱셈자의 두 얼굴. λ\lambda 는 (i) 라그랑주식의 부산물 (구속을 미정 곱셈자로 다루는 형식적 도구) 이자 (ii) 물리적 구속력의 크기 (단진자의 장력 = λ\lambda, 비드의 수직항력 = λ\lambda). 단진자의 λ\lambda 가 추의 속력에 따라 변하는 까닭은, 위 식의 우변에 r¨⋅n^\ddot{\mathbf{r}} \cdot \hat{\mathbf{n}} 이 들어가 있기 때문 — 원심 가속도 가 그 정체.

(2) 다랑베르의 영리함. 위 분해의 핵심은, 운동방정식의 접선 부분 이 λ\lambda 와 독립 이라는 것. 즉 운동을 풀기 위해 λ\lambda 를 미리 알 필요가 없다. λ\lambda 는 운동이 풀린 뒤 위 식으로 사후에 구해진다. 1.1.3 의 다랑베르 원리를 곡면의 언어로 다시 적은 셈.

(3) 정밀히 — 단위 법선의 존재. ru×rv≠0\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \neq 0 의 가정 (1.2.1) 이 깨지지 않는 한 n^\hat{\mathbf{n}} 이 잘 정의된다. 곡면의 특이점 (예: 원뿔 꼭짓점) 에서는 위 분해가 무너지고, 그 점에서의 운동은 더 정교한 처리가 필요하다.

파이썬으로 확인 — 단진자의 장력 λ\lambda 결정

이 코드의 메시지는 단순하다: 단진자에서 막대 장력 λ\lambda 가 운동 상태 에 따라 어떻게 변하는지 직접 계산한다. 추의 각도와 각속도가 주어졌을 때 λ\lambda 의 값이 어떻게 나오는지 본다.

# 단진자: 추의 위치 r = ell * (sinθ, -cosθ).
# n_hat = -r/|r| (구속면 안쪽 = 피벗 방향).
# 운동방정식의 법선 사영:  λ = m * a · n_hat - F^appl · n_hat
import numpy as np
ell, m, g = 1.0, 1.0, 9.81

def constraint_lambda(theta, dtheta, ddtheta):
    # 위치
    r = ell * np.array([np.sin(theta), -np.cos(theta)])
    # 가속도 (해석적)
    a_x = ell * (np.cos(theta) * ddtheta - np.sin(theta) * dtheta**2)
    a_y = ell * (np.sin(theta) * ddtheta + np.cos(theta) * dtheta**2)
    a = np.array([a_x, a_y])
    # 법선 단위벡터 (피벗 방향, 즉 -r 방향)
    n_hat = -r / np.linalg.norm(r)
    # 외력 (중력)
    F_app = np.array([0.0, -m * g])
    # λ = m * a · n_hat - F_app · n_hat
    lam = m * np.dot(a, n_hat) - np.dot(F_app, n_hat)
    return lam

# 정상상태 (θ_dot = 0, θ_ddot = -g/ℓ * sinθ) 에서의 장력
for theta in [0.0, np.pi/6, np.pi/4, np.pi/3, np.pi/2]:
    dtheta = 0.0
    ddtheta = -(g / ell) * np.sin(theta)
    lam = constraint_lambda(theta, dtheta, ddtheta)
    print(f"θ = {theta:.4f} rad,  정지 시 장력 λ = {lam:.4f} N  (cosθ * m g = {m*g*np.cos(theta):.4f})")

이 결과는 정지점 (θ˙=0\dot\theta = 0) 에서 λ=mgcos⁡θ\lambda = m g \cos\theta 가 나옴을 보인다 — 익숙한 단진자 장력 공식. 일반적인 θ˙≠0\dot\theta \neq 0 에서는 원심 항 mℓθ˙2m\ell\dot\theta^2 가 더해진다.

다음 절(1.2.4)로 가는 다리

법선 방향 사영이 구속력을 결정 했다. 운동을 결정 하는 식은 같은 분해의 접선 방향 사영이다. 다음 1.2.4 는 그 접선 사영을 직접 수행해, 구속력이 사라지고 (u,v)(u, v) 만으로 적힌 2 개의 결합 ODE 가 나오는 모습을 본다. 크리스토펠 기호가 처음으로 명시적으로 등장한다.