1.6.4 — p-형식: 다양체 위 교대 텐서장의 무한 가족

점마다 교대 $(0, p)$-텐서 하나를 매끄럽게 깐 것이 $p$-형식. 외적 $\wedge$ 가 두 $p$-형식을 결합해 새 형식을 만든다. $\Omega^*(M) = \bigoplus_p \Omega^p(M)$ 가 미분형식의 외대수.

본문이 말하는 것

$p$-형식 (p-form, p次 외미분형식) $\omega$ 는 매끄러운 교대 $(0, p)$-텐서장. 즉 각 점에 $\Lambda^p T^*_p M$ 의 원소를 매끄럽게 부여.

좌표 표현:

$$\omega = \sum_{i_1 < \cdots < i_p} \omega_{i_1 \dots i_p}(x)\, dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_p}$$

또는 (사전 순서 없이, 자동 교대화 사용):

$$\omega = \frac{1}{p!}\, \omega_{i_1 \dots i_p}(x)\, dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_p}$$

여기서 $\omega_{i_1 \dots i_p}$ 는 교대 (모든 인덱스 교환에 부호 반전). $M$ 위의 모든 $p$-형식의 공간을 $\Omega^p(M)$.

특수 경우.

• $\Omega^0(M) = C^\infty(M)$ — 함수들.
• $\Omega^1(M)$ — 1-형식들 (1.6.2).
• $\Omega^n(M)$ — 체적 형식 ($n = \dim M$). 1차원.
• $p > n$: $\Omega^p(M) = 0$.

외적의 확장. 1.5.5 의 점-별 외적을 함수 계수 로 확장. $\omega \in \Omega^p$, $\eta \in \Omega^q$ 에 대해 $\omega \wedge \eta \in \Omega^{p+q}$.

성질 (점-별과 같음):

$$\omega \wedge \eta = (-1)^{pq}\, \eta \wedge \omega,\qquad (\omega \wedge \eta) \wedge \xi = \omega \wedge (\eta \wedge \xi)$$

외대수. $\Omega^*(M) := \bigoplus_{p=0}^n \Omega^p(M)$ 가 외대수 — 외적이 곱셈인 분차 가환 대수 (graded commutative algebra).

한 번 더, 천천히

(1) 2-형식의 기하학적 의미. $\omega \in \Omega^2(M)$ 가 두 벡터장 $X, Y$ 에 작용하면 $\omega(X, Y) \in C^\infty(M)$ — 함수. 점 $p$ 에서의 값 $\omega_p(X_p, Y_p)$ 는 두 화살표가 만드는 부호 있는 면적. 자속·각운동량 같은 면적 양 이 모두 2-형식.

(2) 체적 형식의 특수성. $\Omega^n(M)$ 은 1차원이지만 영이 아닌 원소를 전역적으로 골라 박을 수 있는가는 방향성 (orientability) 문제. $S^2$ 는 방향성 있음 (전역 체적 형식 존재), 뫼비우스 띠는 방향성 없음 (전역 체적 형식 없음). 1.6.7 의 적분이 방향이 있는 다양체 에서만 잘 정의된다.

(3) 미분형식과 Vector calculus 의 대응 (R^3 한정).

차수	객체	예
0	함수	$f(x, y, z)$
1	1-형식	$\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = F_x dx + F_y dy + F_z dz$
2	2-형식	$\mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}$ (자속)
3	체적 형식	$\rho\, dx \wedge dy \wedge dz$

이 대응 덕분에 $\mathbb R^3$ 에서는 미분형식 어휘 없이도 모든 적분 정리를 다룰 수 있다. 4차원 이상에서는 대응이 깨지고 형식 자체 가 본질.

(4) 라그랑주·해밀턴 형식의 핵심 객체.

• 라그랑지언 1-형식 $L\, dt$ — 작용 = 이것의 곡선 적분.
• 심플렉틱 2-형식 $\omega = dp_i \wedge dq^i$ on $T^*M$ — 해밀턴 역학의 위상공간 구조.
• 체적 형식 $\omega^n / n!$ — Liouville 정리 (체적 보존).

파이썬으로 확인 — $\mathbb R^3$ 의 2-형식과 외적

이 코드의 메시지는 단순하다: 두 1-형식 $\alpha = y\, dx + z\, dy$, $\beta = z\, dx + x\, dz$ 의 외적 $\alpha \wedge \beta$ 를 좌표로 계산하고, 2-형식이 행렬식 형식 으로 두 벡터에 작용함을 본다.

# α = y dx + z dy → α_x = y, α_y = z, α_z = 0
# β = z dx + x dz → β_x = z, β_y = 0, β_z = x
# (α ∧ β)_{ij} = α_i β_j - α_j β_i (i < j)
import sympy as sp

x, y, z = sp.symbols('x y z', real=True)

alpha = [y, z, 0]    # (α_x, α_y, α_z)
beta = [z, 0, x]     # (β_x, β_y, β_z)

# 2-form components in lex order (xy, xz, yz)
def wedge_2form(a, b):
    return {
        'xy': a[0] * b[1] - a[1] * b[0],
        'xz': a[0] * b[2] - a[2] * b[0],
        'yz': a[1] * b[2] - a[2] * b[1],
    }

ab = wedge_2form(alpha, beta)
print(f"(α ∧ β)_xy = {sp.simplify(ab['xy'])}")
print(f"(α ∧ β)_xz = {sp.simplify(ab['xz'])}")
print(f"(α ∧ β)_yz = {sp.simplify(ab['yz'])}")

# 두 벡터 u, v 에 대해 (α ∧ β)(u, v) 평가
# 일반 공식: Σ_{i<j} (α∧β)_ij (u^i v^j - u^j v^i)
u_x, u_y, u_z, v_x, v_y, v_z = sp.symbols('u_x u_y u_z v_x v_y v_z', real=True)
ab_uv = (ab['xy'] * (u_x * v_y - u_y * v_x) +
         ab['xz'] * (u_x * v_z - u_z * v_x) +
         ab['yz'] * (u_y * v_z - u_z * v_y))
print(f"\n(α ∧ β)(u, v) = {sp.simplify(ab_uv)}")

# 부호 반전: (α ∧ β)(v, u) = -(α ∧ β)(u, v) ?
ab_vu = ab_uv.subs([(u_x, v_x), (v_x, u_x),
                    (u_y, v_y), (v_y, u_y),
                    (u_z, v_z), (v_z, u_z)], simultaneous=True)
print(f"(α ∧ β)(u, v) + (α ∧ β)(v, u) = {sp.simplify(ab_uv + ab_vu)}  (= 0 기대)")

이 결과는 함수 계수 의 1-형식들의 외적이 함수 계수의 2-형식 임을 명시적으로 보인다. 외대수의 산수가 점-별 산수의 자연스러운 확장.

다음 절(1.6.5)로 가는 다리

미분형식들이 모인 외대수 $\Omega^*(M)$ 위에는 덧셈·곱셈 외에 또 하나의 자연스러운 작용 — 미분 연산자 $d$ — 이 있다. $d : \Omega^p \to \Omega^{p+1}$ 이 등급을 하나 올린다. 1.6.5 의 외미분이 그 정의와 핵심 성질 ($d^2 = 0$) 을 박는다.