4.4.1 — 정준 방정식의 선형화: 고유값이 짝지어 나오는 자동 구조

해밀턴 시스템의 평형점 선형화. 자코비안이 심플렉틱 이라 고유값이 항상 $\pm\lambda$ 또는 $\pm i\omega$ 의 쌍. 일반 동력학 시스템에는 없는 특별한 제약.

본문이 말하는 것

해밀턴 시스템 $\dot x = X_H(x)$ ( $x \in T^*M$ ) 의 평형점 $x^* = (q^*, p^*)$ 에서 선형화 $\dot \xi = A \xi$ 의 자코비안 $A$ 가 특별한 구조를 가진다.

핵심 정리. $A$ 가 심플렉틱 (또는 Hamiltonian) 행렬. 즉

A^T J + J A = 0, \quad J = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix}

여기서 $J$ 는 심플렉틱 형식의 행렬 표현 ( $2n \times 2n$ ). 위 등식의 의미: $A$ 의 흐름 $e^{tA}$ 가 심플렉틱 형식을 보존.

고유값의 짝짓기. Hamiltonian 행렬 $A$ 의 고유값 $\lambda$ 가 있다면 $-\lambda$ , $\bar\lambda$ , $-\bar\lambda$ 도 모두 고유값. 즉:

실수 고유값 $\lambda \in \mathbb R$ : 짝 $-\lambda$ 와 함께. 안장점 방향.
순수 허수 $i\omega$ : 짝 $-i\omega$ 와 함께. 중심 (안정).
복소 일반 $\alpha + i\beta$ : 짝 $-\alpha + i\beta$ , $-\alpha - i\beta$ , $\alpha - i\beta$ — 4개의 quadruple.

결과: 점근 안정 평형점 없음. $\text{Re}(\lambda) < 0$ 인 고유값이 있으면 반드시 $-\lambda$ 도 고유값, $\text{Re}(-\lambda) > 0$ . 그래서 모든 고유값이 $\text{Re} < 0$ 이 불가능. 해밀턴 시스템의 평형점은 Liapunov 안정 (중심) 또는 불안정 (안장 포함). 점근 안정 불가 — 체적 보존의 직접적 결과.

한 번 더, 천천히

(1) 단진자의 분류. 자코비안

$(0, 0)$ : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\cos 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ . 고유값 $\pm i$ . 중심.
$(\pi, 0)$ : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . 고유값 $\pm 1$ . 안장점.

두 경우 모두 고유값이 반대 부호의 쌍 — 정확히 Hamiltonian 행렬의 짝짓기.

(2) 일반 동력학 시스템과의 극명한 차이. 비-해밀턴 시스템에서는 평형점 고유값에 제약이 없다. 안정 노드 ( $\lambda_1, \lambda_2 < 0$ ), 안정 focus ( $\text{Re} < 0$ 복소) 등 점근 안정 평형점이 자연스럽게 나타난다. 해밀턴에서는 불가.

(3) §1.4.10 의 리 대수 회수. Hamiltonian 행렬의 집합이 리 대수 $\mathfrak{sp}(2n, \mathbb R)$ — 심플렉틱 군 $Sp(2n, \mathbb R)$ 의 리 대수. $A \in \mathfrak{sp}(2n, \mathbb R)$ , $e^{tA} \in Sp(2n, \mathbb R)$ . 심플렉틱 보존 흐름의 일반 성질.

(4) KAM 정리의 씨앗. 해밀턴 시스템의 중심 평형점 — 고유값이 순수 허수. 비-해밀턴이라면 비-하이퍼볼릭 으로 분기에 민감. 해밀턴에서는 심플렉틱 구조 덕분에 비선형 안정성 까지 대부분 보존. KAM 정리가 이 대부분 의 정밀한 진술.

(5) 양자역학에서의 대응. 조화 진동자 의 양자화 — 평형점 근방의 선형화는 양자 조화 진동자. 고유값 $\pm i\omega$ 의 $\omega$ 가 양자 에너지 레벨 간격 $\hbar\omega$ 의 고전 한계. 양자역학에서 심플렉틱 구조가 정준 양자화 로 직결.

파이썬으로 확인 — 단진자 자코비안의 심플렉틱 검증

이 코드의 메시지는 단순하다: 단진자 두 평형점의 자코비안 $A$ 가 Hamiltonian 행렬 조건 $A^T J + J A = 0$ 을 만족함을 직접 확인. 고유값 짝짓기도 본다.

# 단진자: H = p²/2 - cos θ
# X_H = (p, -sin θ). 평형점에서 선형화 A = (∂X_H/∂(θ, p))
import numpy as np

J = np.array([[0.0, 1.0],
              [-1.0, 0.0]])  # 심플렉틱 형식 (1자유도)

def jacobian_pendulum(theta_eq):
    """단진자 X_H 의 자코비안. cos θ 만 평형점에서 다름."""
    return np.array([[0.0, 1.0],
                     [-np.cos(theta_eq), 0.0]])

# (a) 안정 평형 (0, 0)
A = jacobian_pendulum(0.0)
sympl_check = A.T @ J + J @ A
print(f"(a) (θ=0):")
print(f"  자코비안 A =\n{A}")
print(f"  Hamiltonian 검증 A^T J + J A =\n{sympl_check}")
print(f"  (= 0 기대 — 단진자가 해밀턴이라)")
print(f"  고유값: {np.linalg.eigvals(A)}")
print(f"  → ±i (순수 허수 쌍 — 중심)")

# (b) 불안정 평형 (π, 0)
A = jacobian_pendulum(np.pi)
sympl_check = A.T @ J + J @ A
print(f"\n(b) (θ=π):")
print(f"  Hamiltonian 검증 A^T J + J A =\n{sympl_check}  (= 0)")
print(f"  고유값: {np.linalg.eigvals(A)}")
print(f"  → ±1 (실수 쌍 — 안장점)")

# 검증: 마찰 진자 (비-해밀턴) 의 자코비안은 Hamiltonian 조건을 *깨야 한다*
A_friction = np.array([[0.0, 1.0],
                       [-1.0, -0.3]])  # 마찰 추가
sympl_check_friction = A_friction.T @ J + J @ A_friction
print(f"\n(c) 마찰 진자 (비-해밀턴) 의 자코비안:")
print(f"  A^T J + J A =\n{sympl_check_friction}")
print(f"  (≠ 0 — 비-해밀턴이라 심플렉틱 보존 안 함)")
print(f"  고유값: {np.linalg.eigvals(A_friction)}")
print(f"  → 복소이며 실수부 음수 — 안정 focus (해밀턴 불가능한 분류)")

이 결과는 (a) 해밀턴 시스템의 자코비안이 자동으로 Hamiltonian 행렬, (b) 고유값이 반드시 쌍 으로 나옴, (c) 비-해밀턴은 이 심플렉틱 제약을 깬다 — 세 사실의 수치 검증.

다음 절(4.4.2)로 가는 다리

해밀턴 시스템의 평형점이 심플렉틱 구조 때문에 제한된 분류 만 가진다는 것이 분기 이론에도 영향을 준다. 그러나 구조 안정성 — 작은 perturbation 에 대한 질적 행동의 보존 — 의 관점에서 해밀턴 시스템은 일반적으로 구조 안정이 아니다. §4.4.2 가 이 특별한 약점 을 짚는다.