2.2.4 — 해밀토니언과 에너지 적분: 시간 변위 대칭이 만든 보존량

H=pαq˙α−LH = p_\alpha \dot q^\alpha - L — 라그랑지언의 르장드르 변환. LL 이 시간에 명시적 의존 안 하면 HH 가 보존. 스클레로노믹 + 보존력에서 H=T+VH = T + V (총 에너지).

본문이 말하는 것

해밀토니언 (Hamiltonian) 의 정의

H(q,q˙,t):=pα q˙α−L(q,q˙,t),pα=∂L∂q˙αH(q, \dot q, t) := p_\alpha\, \dot q^\alpha - L(q, \dot q, t), \quad p_\alpha = \frac{\partial L}{\partial \dot q^\alpha}

(아인슈타인 합 규약). 운동방정식의 해를 따라가는 HH 의 시간 미분을 직접 계산:

dHdt=p˙αq˙α+pαq¨α−∂L∂qαq˙α−∂L∂q˙αq¨α−∂L∂t\frac{dH}{dt} = \dot p_\alpha \dot q^\alpha + p_\alpha \ddot q^\alpha - \frac{\partial L}{\partial q^\alpha} \dot q^\alpha - \frac{\partial L}{\partial \dot q^\alpha} \ddot q^\alpha - \frac{\partial L}{\partial t}

운동방정식 (p˙α=∂L/∂qα\dot p_\alpha = \partial L / \partial q^\alpha) 과 pα=∂L/∂q˙αp_\alpha = \partial L / \partial \dot q^\alpha 를 대입하면 내부 항이 모두 상쇄, 다음만 남는다:

dHdt=−∂L∂t\boxed{\quad \frac{dH}{dt} = -\frac{\partial L}{\partial t} \quad}

라그랑지언이 시간에 명시적으로 의존하지 않으면 ∂L/∂t=0\partial L / \partial t = 0 → dH/dt=0dH/dt = 0 → HH 는 제1적분.

HH 의 명시적 형태. 운동에너지의 분해 T=T2+T1+T0T = T_2 + T_1 + T_0 (2.1.2) 와 L=T−VL = T - V 를 대입:

H=2T2+T1−L=T2−T0+VH = 2 T_2 + T_1 - L = T_2 - T_0 + V
  • 스클레로노믹 + 보존력: T1=T0=0T_1 = T_0 = 0, T2=TT_2 = T, V=V(q)V = V(q). 그래서 H=T+VH = T + V — 총 에너지.
  • 레오노믹: H≠T+VH \neq T + V 일반적으로. 예: 회전 후프 위 구슬 (2.1.2) 에서 H=T2−T0+VH = T_2 - T_0 + V 가 준-에너지 — 실제 에너지가 아니지만 보존되는 양.

한 번 더, 천천히

(1) 르장드르 변환의 역할. H=pαq˙α−LH = p_\alpha \dot q^\alpha - L 은 라그랑지언 L(q,q˙)L(q, \dot q) 에서 해밀토니언 H(q,p)H(q, p) 로의 변수 교환. 속도 q˙\dot q 를 운동량 pp 로 바꾸는 르장드르 변환. §5.1.2 의 정준 변환의 출발점.

(2) 왜 음의 부호 −L-L 이 끼어드는가. 노에터 처방 J=pαηα−ΦJ = p_\alpha \eta^\alpha - \Phi 에서 시간 변위 (ηα=q˙α\eta^\alpha = \dot q^\alpha, Φ=L\Phi = L) 의 경우 J=pαq˙α−L=HJ = p_\alpha \dot q^\alpha - L = H. 즉 HH 의 정의가 노에터의 처방 에서 자동으로 떨어진다.

(3) 에너지의 3 가지 정체.

  • 운동에너지 + 위치에너지 T+VT + V: 가장 친숙한 정의.
  • 해밀토니언 HH: 시간 변위 대칭의 보존량.
  • 르장드르 변환 pq˙−Lp \dot q - L: LL 을 HH 로 옮기는 변환.

세 정체가 스클레로노믹 + 보존력 에서만 완전히 일치. 일반적으로는 (b) 만 보존되는 양.

(4) 일반화 포텐셜 (2.1.4) 의 경우. 전자기장 안 전하 입자 라그랑지언 L=12mv2+eA⋅v−eϕL = \frac{1}{2} m v^2 + e\mathbf{A} \cdot \mathbf{v} - e\phi 에 대해 p=mv+eA\mathbf{p} = m\mathbf{v} + e\mathbf{A}, H=p⋅v−L=12mv2+eϕH = \mathbf{p} \cdot \mathbf{v} - L = \frac{1}{2} m v^2 + e\phi — 운동에너지 + 전기 위치에너지 (벡터 포텐셜 A\mathbf{A} 가 사라짐). 이게 에너지의 정확한 정의.

(5) §4 의 해밀턴 형식의 시드. H(q,p,t)H(q, p, t) 의 정준 방정식

q˙α=∂H∂pα,p˙α=−∂H∂qα\dot q^\alpha = \frac{\partial H}{\partial p_\alpha}, \quad \dot p_\alpha = -\frac{\partial H}{\partial q^\alpha}

이 § 4 의 해밀턴 역학. 라그랑지언 L(q,q˙)L(q, \dot q) 이 2차 ODE 였다면, H(q,p)H(q, p) 가 만드는 식은 대칭적인 1차 ODE 두 묶음 — 형식적으로 더 깔끔.

파이썬으로 확인 — 단진자의 HH vs T+VT + V, 그리고 회전 후프의 H≠T+VH \neq T + V

이 코드의 메시지는 단순하다: (a) 스클레로노믹 단진자에서 H=T+VH = T + V, (b) 레오노믹 회전 후프에서 H≠T+VH \neq T + V 이지만 HH 가 보존. 두 경우 모두 수치 적분으로 확인.

# (a) 단진자 (스클레로노믹): L = (1/2) m ℓ² θ̇² + m g ℓ cos θ
# p_θ = m ℓ² θ̇, H = p_θ θ̇ - L = (1/2) m ℓ² θ̇² - m g ℓ cos θ = T + V ✓
# (b) 회전 후프 (레오노믹): L = (1/2) m R² (θ̇² + Ω² sin² θ) + m g R cos θ
# p_θ = m R² θ̇, H = p_θ θ̇ - L = (1/2) m R² θ̇² - (1/2) m R² Ω² sin² θ - m g R cos θ
#   = T_2 - T_0 + V  ≠  T + V (= T_2 + T_0 + V) — 두 값이 다름
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

g, ell, m, R = 9.81, 1.0, 1.0, 1.0
Omega = 2 * np.sqrt(g / R)  # > 임계, 회전 후프 (2.1.2 의 예)

# (a) 단진자
def pendulum(t, y):
    theta, dtheta = y
    return [dtheta, -(g / ell) * np.sin(theta)]

sol_a = solve_ivp(pendulum, (0, 5.0), [np.pi/3, 0.0],
                  rtol=1e-10, atol=1e-12, dense_output=True)
ts = np.linspace(0, 5, 200)
theta_a, dtheta_a = sol_a.sol(ts)
T_a = 0.5 * m * ell**2 * dtheta_a**2
V_a = -m * g * ell * np.cos(theta_a)
H_a = T_a + V_a  # 단진자에서 H = T + V

print("== 단진자 (스클레로노믹) ==")
print(f"H 의 변동폭:        {np.ptp(H_a):.2e}  (= 0 기대)")
print(f"T + V 의 변동폭:    {np.ptp(T_a + V_a):.2e}  (= H 와 같음)")

# (b) 회전 후프
def hoop(t, y):
    theta, dtheta = y
    ddtheta = (Omega**2 * np.cos(theta) - g / R) * np.sin(theta)
    return [dtheta, ddtheta]

# 임의의 초기조건 (회전 후프의 비적도 평형 부근에서)
theta_eq = np.arccos(g / (R * Omega**2))
sol_b = solve_ivp(hoop, (0, 5.0), [theta_eq + 0.2, 0.0],
                  rtol=1e-10, atol=1e-12, dense_output=True)
theta_b, dtheta_b = sol_b.sol(ts)

# T 와 V (실제)
T_b = 0.5 * m * R**2 * (dtheta_b**2 + Omega**2 * np.sin(theta_b)**2)
V_b = -m * g * R * np.cos(theta_b)
# H = T_2 - T_0 + V (보존됨)
T_2 = 0.5 * m * R**2 * dtheta_b**2
T_0 = 0.5 * m * R**2 * Omega**2 * np.sin(theta_b)**2
H_b = T_2 - T_0 + V_b

print("\n== 회전 후프 (레오노믹) ==")
print(f"T + V 의 변동폭:    {np.ptp(T_b + V_b):.4f}  (보존 안 됨)")
print(f"H 의 변동폭:        {np.ptp(H_b):.2e}        (보존됨 — '에너지의 자리' 의 진정한 정체)")

이 결과는 (a) 스클레로노믹에서 H=T+VH = T + V 가 모두 보존, (b) 레오노믹에서 T+VT + V 가 보존되지 않고 H=T2−T0+VH = T_2 - T_0 + V 만 보존 임을 보인다. 에너지 라는 단어의 수학적 정확한 정의 는 해밀토니언.

다음 절(2.2.5)로 가는 다리

순환 좌표와 노에터 정리가 제1적분 을 만들어 냈다. 그 제1적분들을 활용 해서 운동방정식의 차원을 낮춘다 — 자유도 삭감. 2.2.5 가 Routhian 같은 도구로 그 환원을 어떻게 박는지 설명한다.