2.2.1 — 제1적분: 궤적 위에서 상수 인 함수

운동방정식의 해를 따라 시간 미분이 0 인 함수 $f(q, \dot q, t)$ 가 제1적분. 에너지·운동량·각운동량이 모두 이 가족 — 운동을 덜 적분해서 정보를 뽑아내는 도구.

본문이 말하는 것

원서 2.2.1 절은 제1적분 (first integral) 을 다음과 같이 정의한다.

라그랑주 방정식의 해 $q(t)$ 를 따라가는 함수 $f(q, \dot q, t)$ 의 시간 미분은

\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial q^\alpha}\, \dot q^\alpha + \frac{\partial f}{\partial \dot q^\alpha}\, \ddot q^\alpha + \frac{\partial f}{\partial t}

운동방정식이 $\ddot q^\alpha$ 를 결정하므로, 위 식은 해를 따라가는 함수의 변화율. 이게 항상 0 이면

\frac{df}{dt}\bigg|_{\text{운동방정식}} = 0

— $f$ 는 운동을 따라 일정 . $f$ 가 제1적분 (또는 운동의 상수, constant of motion).

핵심 의미. $n$ 자유도 계의 운동방정식은 $2n$ 차원 위상공간의 ODE. 일반 해는 $2n$ 개의 적분 상수 를 필요로 한다. 제1적분 한 개를 안다면 — 즉 $f(q, \dot q, t) = C$ 라는 한 식을 안다면 — 미지의 차원이 하나 줄어든다. $2n - 1$ 차원 부분공간 위에서만 운동이 일어난다.

예시.

단진자: 에너지 $E = T + V = \frac{1}{2} m\ell^2 \dot\theta^2 - mg\ell\cos\theta$ 가 제1적분. $E$ 를 알면 $\dot\theta = \pm\sqrt{(2/m\ell^2)(E + mg\ell\cos\theta)}$ — 1차원 ODE 로 축소.
중심력 운동: 에너지 + 각운동량 2 개의 제1적분으로 2 자유도 → 0 자유도, 즉 완전 적분 가능.

한 번 더, 천천히

(1) 제1적분의 대수적 vs 함수적 정체. 제1적분 $f$ 는 위상공간 (또는 확장 위상공간 $\mathbb R \times TM$ ) 위의 함수. 값 $C$ 는 초기조건에서 정해진다. 같은 함수에 다른 $C$ 가 곱하면 다른 궤적이 나오므로, 한 제1적분이 궤적의 가족 을 정의한다.

(2) 독립적 제1적분. $f_1, \dots, f_k$ 가 독립 이라는 것은, 각각 다른 기하학적 정보 를 담고 있어 연립 식 $f_i = C_i$ 가 일관되게 풀린다는 것. 독립 제1적분 $2n$ 개를 가지면 완전 적분 가능 (integrable system). 일반적으로는 많지 않다 — 비적분 가능 계가 카오스 의 무대.

(3) 1.4 의 흐름·벡터장과의 연결. 라그랑주 운동방정식이 만드는 위상공간 위 흐름 의 불변량 이 제1적분. 1.4.6 의 1-매개변수 변환군의 연속 대칭 과 제1적분이 짝짓는다 — 다음 절(2.2.3)의 노에터 정리.

(4) 시간 의존 제1적분. $f$ 가 명시적으로 $t$ 에 의존해도 OK ( $f = f(q, \dot q, t)$ ). 예: 자유 입자 $\ddot x = 0$ 의 일반해 $x = x_0 + v_0 t$ , 그래서 $x - v t$ 가 $t$ -의존 제1적분 ( $= x_0$ , 초기 위치). 시간 무관 제1적분이 특별히 의미 있지만, 일반 정의는 둘 모두 포함.

(5) 라그랑주의 유일성 제거. $n$ 자유도의 해 는 무한 가족 (적분 상수 $2n$ 의 자유) — 그러나 제1적분 은 각 해를 정의하는 좌표. 즉 해 자체가 아닌 해의 인덱스. 이 시점 전환이 §3 의 변분 원리·해밀턴-야코비식의 핵심 발상.

파이썬으로 확인 — 단진자의 에너지가 제1적분

이 코드의 메시지는 단순하다: 단진자 운동을 적분하고, 매 시점에서 $E = \frac{1}{2} m\ell^2 \dot\theta^2 - mg\ell\cos\theta$ 를 계산해 일정 함을 확인. 수치 적분 오차 수준으로 보존.

# 단진자: L = (1/2) m ℓ² θ̇² + m g ℓ cos θ
# 운동방정식: θ¨ = -(g/ℓ) sin θ
# 에너지 E = (1/2) m ℓ² θ̇² - m g ℓ cos θ 가 제1적분
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

g, ell, m = 9.81, 1.0, 1.0

def pendulum(t, y):
    theta, dtheta = y
    return [dtheta, -(g / ell) * np.sin(theta)]

# 초기조건: 큰 각도 (작은 진폭 가정 깨기)
y0 = [np.pi / 2, 0.0]  # 수평으로 시작, 정지
sol = solve_ivp(pendulum, (0, 10.0), y0,
                rtol=1e-10, atol=1e-12, dense_output=True)

ts = np.linspace(0, 10, 500)
theta_t = sol.sol(ts)[0]
dtheta_t = sol.sol(ts)[1]

# 에너지 (제1적분)
E = 0.5 * m * ell**2 * dtheta_t**2 - m * g * ell * np.cos(theta_t)

print(f"E(t=0)  = {E[0]:.10f}")
print(f"E(t=10) = {E[-1]:.10f}")
print(f"E 의 변동폭 (ptp) = {np.ptp(E):.2e}")
print(f"E 의 표준편차    = {np.std(E):.2e}")

# 비교: 운동량 p = m ℓ² θ̇ 는 *제1적분이 아님* (변동 큼)
p = m * ell**2 * dtheta_t
print(f"\np = m ℓ² θ̇ 의 변동폭 = {np.ptp(p):.4f}  (= 0 이 아님 — 운동량 보존 안 됨)")
print(f"단진자는 회전 대칭이 없어 운동량은 *제1적분이 아니다*")

이 결과는 (a) 에너지가 기계 엡실론 수준 으로 보존, (b) 운동량은 크게 변동 — 즉 한 함수가 제1적분인지 아닌지 가 대칭성에 의존 함을 보인다. 다음 절(2.2.2)의 순환 좌표·일반화 운동량 이 그 대칭성을 명시적으로 박는다.

다음 절(2.2.2)로 가는 다리

에너지가 제1적분인 이유 는 라그랑지언이 시간에 명시적으로 의존하지 않기 때문 (단진자 $L$ 에 $t$ 없음). 마찬가지로 공간 변위 대칭 이 운동량의 보존, 회전 대칭 이 각운동량의 보존을 만든다. 그 첫 단계로, 2.2.2 가 일반화 운동량 $p_\alpha = \partial L / \partial \dot q^\alpha$ 의 정의와 순환 좌표 의 경우 그 보존을 박는다.