4.1.5 — 확장 상공간: 시간과 에너지가 추가 좌표 가 되는 무대

위상공간 T∗MT^*M 에 시간 tt 와 음의 에너지 −H-H 의 좌표를 결합한 확장 상공간 T∗M×T∗RT^*M \times T^*\mathbb R. 확장 정준 1-형식 θext=pαdqα−Hdt\theta_{\text{ext}} = p_\alpha dq^\alpha - H dt — 시간 의존 해밀토니언의 무대.

본문이 말하는 것

원서 4.1.5 절은 확장 상공간 (extended phase space) 의 정의를 박는다.

배위공간 MM 의 확장 형식 (§3.1.2) — M~=M×Rt\tilde M = M \times \mathbb R_t. 그 여접번들

T∗M~=T∗M×T∗R≅T∗M×R×RT^*\tilde M = T^*M \times T^*\mathbb R \cong T^*M \times \mathbb R \times \mathbb R

— 확장 상공간. 차원 2(n+1)=2n+22(n + 1) = 2n + 2. 차트 좌표 (qα,pα,t,pt)(q^\alpha, p_\alpha, t, p_t). 여기서 ptp_t 가 시간에 대한 켤레 운동량 — 의미는 음의 해밀토니언, pt=−Hp_t = -H.

확장 정준 1-형식:

θext=pα dqα+pt dt=pα dqα−H dt\theta_{\text{ext}} = p_\alpha\, dq^\alpha + p_t\, dt = p_\alpha\, dq^\alpha - H\, dt

— Poincaré–Cartan 1-form. §3.1.4 의 식이 자연스럽게 확장 상공간 위에서 정의됨.

확장 심플렉틱 2-형식:

ωext=−dθext=dqα∧dpα+dt∧dpt=dqα∧dpα−dt∧dH\omega_{\text{ext}} = -d\theta_{\text{ext}} = dq^\alpha \wedge dp_\alpha + dt \wedge dp_t = dq^\alpha \wedge dp_\alpha - dt \wedge dH

(아인슈타인 합 규약. 마지막 등식은 pt=−Hp_t = -H 대입.)

확장 해밀턴 식. 실제 운동은 확장 상공간 위의 한 곡선 에서 확장 심플렉틱 형식 의 contraction 이 0 인 곡선 (방향). 자세한 형식은 §4.2 에서.

한 번 더, 천천히

도해 설명 — 확장 상공간이 왜 필요한가, 무엇을 자연스럽게 표현하나.

(a) 시간 의존 해밀토니언의 자연 무대. H=H(q,p,t)H = H(q, p, t) 가 시간에 명시적 으로 의존하면 (∂H/∂t≠0\partial H/\partial t \neq 0), 에너지가 보존되지 않는다 (dH/dt=∂H/∂tdH/dt = \partial H/\partial t). 이런 시스템의 심플렉틱 구조 는 T∗MT^*M 위가 아니라 확장 상공간 T∗M~T^*\tilde M 위에서 자연스럽게 정의. 그래서 시간 의존 시스템 의 통일된 처리가 가능.

(b) 4-차원 시공간으로의 다리. 일반상대론에서 입자의 위상공간은 시공간의 여접번들 — 정확히 본 절의 확장 상공간. 4-운동량 pμp_\mu 의 시간 성분 p0p_0 이 음의 에너지. 본 절이 그 학부 비상대론 표본.

(c) 작용 적분의 기하학적 정체. §3.1.4 에서 작용 S=∫θLext=∫(p dq−H dt)S = \int \theta_L^{\text{ext}} = \int (p\, dq - H\, dt). 이게 확장 상공간 위의 정준 1-형식 곡선 적분. 작용이 위상공간의 자연스러운 객체 임을 본 절이 명시.

(d) 시간 변위의 대칭 표현. §2.2.4 의 시간 변위가 에너지 보존 — 노에터 정리. 확장 상공간에서 이 사실이 심플렉틱 구조의 자동 결과. ∂/∂t\partial/\partial t 가 벡터장, 그에 대한 공역량 이 pt=−Hp_t = -H — 즉 에너지. 시공간 대칭 이 내장된 구조 로 자동.

(e) 해밀턴-야코비식의 정식 형식. S(q,t)S(q, t) 가 확장 상공간의 함수. 그 미분 dS=θextdS = \theta_{\text{ext}} — 식 ∂S/∂qα=pα\partial S/\partial q^\alpha = p_\alpha, ∂S/∂t=−H\partial S/\partial t = -H. 해밀턴-야코비식이 이 확장 형식의 자연스러운 표현 — §4.4 에서 본격 등장 (※ 본 책은 §4 에서 다루지 않으며 §5 또는 別 章 에서).

(f) 정준 변환의 확장 (§5). §5 의 정준 변환이 시간 의존 변환 을 포함하는 가장 자연스러운 형식이 확장 상공간 위의 심플렉틱 사상. 시간 변수 자체가 변환되는 전반적 변환 도 포함.

다음 절(4.2.1)로 가는 다리

§4.1 에서 위상공간 + 정준 1-형식 + 정준 방정식 의 좌표 표현 을 박았다. 다음 §4.2 는 이 모든 객체를 좌표 자유 형식 — 심플렉틱 다양체 — 으로 재정의한다. 해밀토니언 벡터장 이 위상공간 위의 자연스러운 흐름의 정체로 등장.