1.3.2 — 곡면 위의 텐서: 두 변환 규칙의 결합

벡터의 반변 + 1-형식의 공변. 두 규칙을 자유롭게 결합하면 (p,q)(p, q)-텐서가 나온다. 미터 gijg_{ij} 는 (0,2)(0, 2)-텐서, 크리스토펠 Γijk\Gamma^k_{ij} 는 텐서가 아니다 — 이 차이가 1.3.3 의 접속 정의를 부른다.

본문이 말하는 것

점 pp 위에 두 가지 종류의 일반화 벡터가 있다:

  • 반변 (contravariant): 위 첨자 XiX^i. 좌표 변환 시 Xi′=(∂ui′/∂uj)XjX^{i'} = (\partial u^{i'} / \partial u^j) X^j.
  • 공변 (covariant): 아래 첨자 ωi\omega_i. 좌표 변환 시 ωi′=(∂uj/∂ui′)ωj\omega_{i'} = (\partial u^j / \partial u^{i'}) \omega_j.

두 규칙을 결합한 (p,q)(p, q)-텐서 TT 는 위 pp 인덱스 + 아래 qq 인덱스 를 갖고, 각 위 인덱스는 반변, 각 아래 인덱스는 공변으로 변환:

T  j1′…jq′i1′…ip′=∂ui1′∂uk1⋯∂ukp∂ujq′ T  l1…lqk1…kpT^{i'_1 \dots i'_p}_{\quad\,\, j'_1 \dots j'_q} = \frac{\partial u^{i'_1}}{\partial u^{k_1}} \cdots \frac{\partial u^{k_p}}{\partial u^{j'_q}}\, T^{k_1 \dots k_p}_{\quad\,\, l_1 \dots l_q}

이 변환 규칙을 만족하는 객체를 텐서라 부른다.

미터 gij=ri⋅rjg_{ij} = \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{r}_j 는 변환식

gi′j′=∂uk∂ui′∂ul∂uj′gklg_{i'j'} = \frac{\partial u^k}{\partial u^{i'}} \frac{\partial u^l}{\partial u^{j'}} g_{kl}

을 정직히 따른다 (1.2.1 의 정의에서 직접 따라 나옴) — (0,2)(0, 2)-텐서다. 반면 크리스토펠 Γijk\Gamma^k_{ij} 의 변환식에는 자코비안의 이차 미분 항 이 끼어들어, 텐서 변환 규칙을 깨트린다:

Γi′j′k′=∂uk′∂um∂ua∂ui′∂ub∂uj′Γabm+∂uk′∂um∂2um∂ui′∂uj′\Gamma^{k'}_{i'j'} = \frac{\partial u^{k'}}{\partial u^m} \frac{\partial u^a}{\partial u^{i'}} \frac{\partial u^b}{\partial u^{j'}} \Gamma^m_{ab} + \frac{\partial u^{k'}}{\partial u^m} \frac{\partial^2 u^m}{\partial u^{i'} \partial u^{j'}}

오른쪽의 두 번째 항이 비텐서적 부분. 좌표가 바뀌면 Γ\Gamma 의 값 자체가 비편미분의 영향을 받는다.

한 번 더, 천천히

(1) 텐서의 기하학적 의미. 텐서가 좌표 변환에 명확한 규칙 으로 변한다는 것은, 텐서가 좌표와 독립적인 객체 라는 뜻. 즉 T  jiri⊗ωjT^i_{\;j} \mathbf{r}_i \otimes \omega^j 같은 추상적 표현은 좌표를 바꿔도 같은 객체를 가리킨다. 미터 gijduidujg_{ij} du^i du^j 가 길이 라는 좌표 자유 양이듯이.

(2) 크리스토펠이 텐서가 아닌 까닭. Γijk\Gamma^k_{ij} 는 접속의 성분 — 접속 자체는 기하학적 객체 이지만 그 성분 표현이 좌표에 비텐서적으로 의존한다. 이는 다음 1.3.3 의 핵심 — 접속이 텐서가 아니라 접속 1-형식 이라는 별 종류의 대상이라는 사실을 가리킨다.

(3) 텐서 연산. 같은 종류의 텐서를 더할 수 있고, 다른 종류는 외적 (텐서곱) 으로 곱한다: (T⊗S)kij=T  kiSj(T \otimes S)^{ij}_{\quad k} = T^i_{\;k} S^j. 또 축약 (contraction) 으로 위·아래 한 쌍을 합산해 등급을 낮춘다: T  ii=tr(T)T^i_{\;i} = \text{tr}(T). 미터의 역 gijg^{ij} 도 텐서 — 인덱스 올리기·내리기에 쓰인다.

파이썬으로 확인 — 미터의 좌표변환

이 코드의 메시지는 단순하다: 구면을 (θ,ϕ)(\theta, \phi) 와 새 좌표 (u,v)=(θ,ϕ−θ)(u, v) = (\theta, \phi - \theta) 로 적었을 때, 미터 gg 가 텐서 변환 공식 으로 정확히 변하는지 확인.

# 구면 (반지름 1):
#   원좌표 (θ, φ) 에서 g = diag(1, sin²θ)
#   새 좌표 (u, v) = (θ, φ - θ)  →  θ = u, φ = u + v
#   자코비안 ∂(θ, φ)/∂(u, v) = [[1, 0], [1, 1]]
#   g'_{ij} = (∂θ/∂u^i) (∂θ/∂u^j) g_θθ + (∂φ/∂u^i) (∂φ/∂u^j) g_φφ
import numpy as np

theta = np.pi / 3  # 임의의 점
g = np.diag([1.0, np.sin(theta)**2])  # (θ, φ) 좌표

# 자코비안 ∂(θ, φ)/∂(u, v) at this point
J = np.array([[1.0, 0.0],
              [1.0, 1.0]])

# 텐서 변환 g'_{i'j'} = J^k_{i'} J^l_{j'} g_{kl}
g_new = J.T @ g @ J
print("새 좌표에서의 g':")
print(g_new)
print()
print("해석해:  g'_uu = 1 + sin²θ, g'_uv = g'_vu = sin²θ, g'_vv = sin²θ")
print(f"  = 1 + {np.sin(theta)**2:.4f}, {np.sin(theta)**2:.4f}, {np.sin(theta)**2:.4f}")

이 결과는 텐서 변환식이 정확한 새 미터를 계산해 줌을 보인다 — 미터를 좌표에 따라 다시 계산할 필요 없이 변환 공식만 적용하면 끝이다.

다음 절(1.3.3)로 가는 다리

크리스토펠이 텐서가 아니라는 사실은, 점 pp 의 벡터와 점 qq 의 벡터를 비교하는 작업이 좌표 자유가 아님을 의미한다. 두 점이 어떻게 연결되어 있는가 — 즉 접속 (connection) — 을 별도로 박아야 한다. 1.3.3 은 접속 + 평행이동 의 정의로 들어간다.