상대론적 역학 — 4-벡터와 자유 입자 라그랑지안

고유시간을 작용으로 잡으면 자유 입자의 라그랑지안이 한 줄로 떨어진다 — 그 한 줄에서 $E^2 = p^2 + m^2$ 와 뉴턴 역학이 동시에 굴러 나오는 과정을 따라간다.

들어가며

지금까지의 라그랑지안 $L = \tfrac{1}{2} m v^2 - V$ 는 갈릴레이 변환 아래서는 깔끔하지만, 로런츠 변환 아래서는 부서진다. 이 장은 그 골격을 상대성 원리에 맞게 다시 짠다. 고유시간이라는 단 하나의 불변량을 작용에 집어넣으면 자유 입자의 라그랑지안이 자동으로 결정되고, 거기서 4-운동량, 질량-에너지 관계, 그리고 저속 극한에서의 뉴턴 운동방정식이 모두 한 자리에서 흘러나온다. 이 장 이후 8장의 장론(field theory)으로 넘어갈 때 “로런츠 불변량으로 작용을 짠다”는 같은 처방을 무한 자유도에 그대로 옮겨 쓰게 된다. 이번 장 전체에서는 자연 단위 $c = 1$ 을 쓰고, 마지막 단원에서만 SI 단위로 되돌려 수치를 다룬다.

본론 1 — 고유시간과 4-속도

민코프스키 시공간에서 입자의 세계선(worldline)을 4개 좌표의 묶음 $x^\mu = (t, \vec x)$ 로 적자. 여기서 $\mu$ (mu)는 $0, 1, 2, 3$ 을 도는 시공간 첨자다. 두 가까운 사건 사이의 불변 간격은

$$d\tau^2 = dt^2 - |d\vec x|^2$$

로 정의되며, 이 $\tau$ (tau)를 고유시간(proper time) 이라 부른다 — 입자가 스스로 들고 다니는 시계의 시간이다. 모든 관성계가 이 값을 같은 수로 측정한다는 점이 핵심이다.

실험실 시간 $t$ 로 매개화하면 3-속도 $\vec v = d\vec x/dt$ 가 등장하고

$$d\tau = dt\, \sqrt{1 - v^2}$$

이 되어, 익숙한 인자

$$\gamma \equiv \frac{dt}{d\tau} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}}$$

가 정의된다. $\gamma$ (감마)는 시간이 늘어나는 비율이며, $v \to 1$ 에서 발산한다.

이제 4-속도 를 고유시간에 대한 미분으로 잡는다.

$$u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = (\gamma, \, \gamma \vec v)$$

질량 $m$ 을 곱하면 4-운동량 $p^\mu = m u^\mu = (\gamma m, \gamma m \vec v)$ 가 된다. 이 4-벡터의 0성분이 곧 우리가 부를 에너지 $E = \gamma m$, 3성분이 운동량 $\vec p = \gamma m \vec v$ 다.

본론 2 — 자유 입자 라그랑지안과 $E^2 = p^2 + m^2$

라그랑지안 처방의 위력은 작용이 좌표 변환 아래서 불변이어야 한다는 요청에 있다. 로런츠 변환 아래서 자동으로 불변인 양 중 가장 단순한 것은 고유시간 그 자체다. 그래서 자유 입자의 작용을

$$S = -m \int d\tau$$

로 잡는다. 부호와 인자 $m$ 은 차차 정당화된다. 이 작용을 실험실 시간으로 바꾸면 $d\tau = dt/\gamma = dt\sqrt{1-v^2}$ 이므로

$$S = -m \int dt\, \sqrt{1 - v^2}, \qquad L = -m\sqrt{1 - v^2}$$

이 자유 입자의 상대론적 라그랑지안이다. 변수가 좌표가 아니라 속도 에만 들어 있으므로 운동량은 그대로 미분해서 얻는다:

$$p_i = \frac{\partial L}{\partial v^i} = \frac{m v^i}{\sqrt{1 - v^2}} = m \gamma v^i$$

기대대로 4-운동량의 공간 성분이 떨어진다. 르장드르 변환으로 해밀토니안을 만들면

$$H = p_i v^i - L = \frac{m v^2}{\sqrt{1 - v^2}} + m\sqrt{1 - v^2} = \frac{m}{\sqrt{1 - v^2}} = m\gamma = E$$

가 되어 에너지가 곧 4-운동량의 0성분임이 다시 확인된다. 마지막으로 $E = \gamma m$ 과 $\vec p = \gamma m \vec v$ 에서 $\gamma^2(1 - v^2) = 1$ 을 써 $\gamma$ 를 소거하면

$$E^2 = |\vec p|^2 + m^2$$

라는 한 줄이 떨어진다. (SI 단위로 풀면 $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$.) 정지 상태($\vec p = 0$)에서는 $E = m$, 즉 $E = mc^2$ 가 라그랑지안 처방의 부산물로 자동으로 나온다.

본론 3 — 뉴턴 극한과 정지 에너지

$L = -m\sqrt{1 - v^2}$ 를 $v^2 \ll 1$ 에서 테일러 전개하면

$$L = -m + \tfrac{1}{2} m v^2 + \tfrac{1}{8} m v^4 + O(v^6)$$

첫 항 $-m$ 은 속도와 무관한 상수이므로 오일러–라그랑주 방정식 $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v^i} - \frac{\partial L}{\partial x^i} = 0$ 에는 기여하지 않는다. 즉 운동방정식만 보면 이 항은 사라진다. 그러나 에너지 에는 살아남아 정지 에너지 $E_0 = m$ (SI로 $mc^2$) 의 정체가 된다.

남은 두 번째 항 $\tfrac{1}{2} m v^2$ 가 정확히 뉴턴의 운동에너지다. 세 번째 항 $\tfrac{1}{8} m v^4$ 는 첫 상대론 보정으로, $v/c \approx 0.1$ 에서는 이미 $0.4\%$ 수준의 보정을 주기 시작한다. 즉 상대론적 라그랑지안은 뉴턴 역학에 부드럽게 접속하면서 정지 에너지라는 새 정보를 끼워 들고 온다. 8장에서 장(field)의 라그랑지안을 짤 때도 정확히 같은 원리 — 불변량을 적분한다 — 를 쓸 것이다.

파이썬으로 확인

# 전자(m c^2 = 0.511 MeV)에 대해 γ, pc, E, KE 를 표로 만들고
# 마지막 줄에서 E^2 - (pc)^2 ≈ (mc^2)^2 임을 확인한다.
import numpy as np

mc2 = 0.511  # 전자의 정지 에너지 [MeV]
beta = np.array([0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9, 0.99, 0.999])  # v/c

gamma = 1.0 / np.sqrt(1.0 - beta**2)
E = gamma * mc2                # 총 에너지 [MeV]
pc = gamma * beta * mc2        # 운동량 × c [MeV]
KE = E - mc2                   # 운동에너지 [MeV]

print(f"{'v/c':>7} {'gamma':>10} {'pc [MeV]':>12} {'E [MeV]':>12} {'KE [MeV]':>12}")
for b, g, p, e, k in zip(beta, gamma, pc, E, KE):
    print(f"{b:>7.3f} {g:>10.4f} {p:>12.5f} {e:>12.5f} {k:>12.5f}")

# 마지막 줄에서 분산 관계 검증
inv = E[-1]**2 - pc[-1]**2     # 이 값이 (mc^2)^2 이어야 한다
print(f"\nE^2 - (pc)^2 = {inv:.8f}  vs  (mc^2)^2 = {mc2**2:.8f}")
print(f"상대오차 = {abs(inv - mc2**2) / mc2**2:.2e}")

마지막 두 줄의 출력이 부동소수 정밀도 한계까지 일치해야 한다. $v/c = 0.999$ 에서 $\gamma \approx 22.4$, $E \approx 11.4$ MeV 가 되어 정지 에너지의 22배가 운동에너지로 들어가 있음을 표에서 직접 확인할 수 있다.

다음 장으로

8장: 뇌터 정리와 장론에서는 이 장에서 본 “로런츠 불변량을 적분해 작용을 만든다”는 처방을 무한 자유도의 장으로 끌어올린다. 입자 하나의 4-운동량 보존이 시공간 평행이동에 대한 대칭의 부산물이었듯, 장 이론에서는 에너지–운동량 텐서가 같은 자리에서 자동으로 떨어지게 된다. 그 다리가 곧 뇌터 정리의 장론적 일반화다.