자유전단류 — 제트, 후류, 혼합층

벽이 없는 난류는 세 가지 정형(jet, wake, mixing layer)으로 정리되며, 각자 놀랍도록 깔끔한 자기상사해를 갖는다.

들어가며

7장에서는 벽이 있는 난류, 즉 경계층을 다뤘다. 이번 장에서는 벽이 없는 난류로 시야를 넓힌다. 벽이 없으면 속도 구배의 원천은 단 하나 — 흐름끼리의 상대속도 차이뿐이다. 그런 흐름은 셋으로 분류된다. 이 장이 끝나면 노즐에서 뿜어져 나오는 제트, 자동차 뒤의 후류, 강물과 호수가 만나는 혼합층이 같은 수학적 형태를 공유한다는 것을 보게 된다.

본론 1 — 세 가지 정형(canonical form)

자유전단류(free shear flow, 벽이 없는 전단류)는 다음 세 가지로 정리된다.

제트(jet): 정지한 유체 속으로 분사되는 흐름. 예 — 가스레인지의 화염 분출, 잉크젯 프린터의 잉크 줄기.
후류(wake): 균일류 속 물체의 하류에 생기는 결손 영역. 예 — 자동차 뒤, 비행기 날개 끝.
혼합층(mixing layer): 속도가 다른 두 평행류가 접선 방향으로 만나는 경계. 예 — 강과 바다가 만나는 하구 표층.

세 흐름 모두 벽 없이 속도 차이만으로 전단(velocity shear)을 만들고, 그 전단이 난류를 키운다. 1장에서 나열한 다섯 가지 난류 특성 — 특히 확산성과 와도 변동 — 이 모두 이 흐름에서 나타난다.

본론 2 — 자기상사 가정

세 흐름의 공통점은 **자기상사(self-similarity)**다. 하류 방향 좌표를 $x$ , 수직 방향 좌표를 $y$ 라 하자. 각 $x$ 위치에서의 평균속도 분포 $\bar{u}(x, y)$ 를 그 위치의 특성 중심속도 $U_c(x)$ 와 특성 폭 $\delta(x)$ 로 정규화하면, 모든 $x$ 에서 같은 함수 $f$ 위로 겹친다는 것이 실험·이론으로 확인된다.

\frac{\bar{u}(x, y)}{U_c(x)} = f\!\left( \frac{y}{\delta(x)} \right)

여기서 $\bar{u}$ 는 시간 평균 속도, $U_c$ 는 그 단면에서의 대표 속도(보통 중심선 속도), $\delta$ 는 흐름이 “얼마나 넓게 퍼졌는가”를 나타내는 너비 척도다. $y/\delta$ 는 무차원 수직 좌표 $\eta$ (에타, eta)로 부른다.

이 가정의 힘은 강력하다. 흐름의 모든 단면을 하나의 곡선 $f(\eta)$ 로 압축할 수 있다는 뜻이기 때문이다. 남는 문제는 단 두 가지 — $U_c(x)$ 와 $\delta(x)$ 가 $x$ 의 함수로 어떻게 변하는가다.

본론 3 — 세 흐름의 스케일 법칙

답만 정리하자. 유도는 9장 등방성 난류와 차원해석을 묶어 다룬다.

원형 제트(round jet):

\delta(x) \propto x, \qquad U_c(x) \propto \frac{1}{x}

너비는 $x$ 에 비례해 선형으로 넓어지고, 중심속도는 $1/x$ 로 감쇠한다.

평면 후류(plane wake):

\delta(x) \propto \sqrt{x}, \qquad U_c(x) - U_\infty \propto \frac{1}{\sqrt{x}}

$U_\infty$ 는 멀리서 부는 균일류의 속도, $U_c - U_\infty$ 는 결손 속도(velocity deficit)다. 너비는 $\sqrt{x}$ 로 천천히 자라고, 결손은 $1/\sqrt{x}$ 로 천천히 회복된다.

혼합층(mixing layer):

\delta(x) \propto x, \qquad U_c = \text{const}

너비는 제트처럼 선형으로 자라지만, 대표 속도는 $x$ 와 무관하게 일정하다.

왜 혼합층만 $U_c$ 가 일정한가? 위쪽 흐름의 속도 $U_1$ 과 아래쪽 흐름의 속도 $U_2$ 는 저 멀리서 경계조건으로 주어진다. 즉 혼합층의 “특성 속도 스케일”은 흐름 내부의 동역학이 아니라 외부에서 고정된 값이다. 거리 $x$ 가 늘어나도 $U_1$ 과 $U_2$ 는 바뀌지 않으므로, 그 차이를 기준으로 정의한 $U_c$ 도 상수다.

반면 제트는 다르다. 노즐 출구에서 분사된 운동량 플럭스(momentum flux, 단위 시간당 운동량) $J = \int \rho \bar{u}^2 \, dA$ 는 하류로 갈수록 보존된다(주변 정지 유체가 흡인되어 질량은 늘지만 운동량 합은 같다). 한편 너비가 $\delta \propto x$ 로 자라면 단면적은 $\delta^2 \propto x^2$ 로 늘어난다. 운동량 플럭스 $\rho U_c^2 \cdot \delta^2$ 가 상수이려면 $U_c^2 \cdot x^2 = \text{const}$ , 즉 $U_c \propto 1/x$ 여야 한다. 너비가 커지면 속도가 떨어질 수밖에 없는 구조다.

파이썬으로 확인

원형 제트의 평균속도 자기상사 함수는 가우시안 $f(\eta) = \exp(-\eta^2)$ 로 잘 근사된다. 함수를 그리고, 그 적분이 $\sqrt{\pi}$ 에 일치하는지 수치로 확인한다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 무차원 수직 좌표 η = y / δ(x)
eta = np.linspace(-3, 3, 200)

# 원형 제트 평균속도의 자기상사 모델
f = np.exp(-eta**2)

# 모양 그리기
plt.plot(eta, f)
plt.xlabel("η = y / δ(x)")
plt.ylabel("u / U_c")
plt.title("Round jet self-similar profile")
plt.grid(True)
plt.show()

# 적분으로 운동량 플럭스 보존 인자 확인
integral = np.trapz(f, eta)
print(f"∫ f(η) dη ≈ {integral:.4f}")
print(f"√π        ≈ {np.sqrt(np.pi):.4f}")

출력값은 약 1.7725로 $\sqrt{\pi}$ 와 일치한다. 이 적분이 유한하다는 것 자체가 “프로파일이 멀리서 0으로 빠르게 떨어진다”는 의미고, 본론 3에서 언급한 운동량 플럭스 보존 논증의 출발점이 된다.

다음 장으로

자기상사 스케일 법칙을 “유도하지 않고 답만” 받아들였다. 9장: 등방성 난류와 에너지 캐스케이드에서는 차원해석과 콜모고로프(Kolmogorov)의 1941년 가설로 들어가, 큰 와동이 어떻게 작은 와동으로 에너지를 넘기고 결국 점성에 의해 소산되는지를 본다. 자유전단류의 너비 성장도 결국 그 캐스케이드 위에서 벌어지는 일이다.